数学A 場合の数 問題 37 解説

方針・初手

同じ文字を含む順列なので、まず重複を除いた並べ方を数える。

条件付きのものは、$D$ の位置を固定するか、$ADA$ をひとまとまりとして扱うと整理しやすい。

解法1

全体では、$7$ 文字 $A,A,B,B,C,C,D$ のうち、$A,B,C$ がそれぞれ $2$ 個ずつ重複している。

したがって、並べ方の総数は

$$ \frac{7!}{2!2!2!}=630 $$

である。よって、$[ア]=630$ である。

次に、$D$ が端にくる場合を考える。$D$ を左端または右端に置く方法が $2$ 通りある。

残り $6$ か所に $A,A,B,B,C,C$ を並べる方法は

$$ \frac{6!}{2!2!2!}=90 $$

通りである。したがって、

$$ 2\cdot 90=180 $$

より、$[イ]=180$ である。

また、$D$ が端から $4$ 文字目にあるとは、$7$ 文字の中央に $D$ があるということである。このとき、残り $6$ か所に $A,A,B,B,C,C$ を並べればよいから、

$$ \frac{6!}{2!2!2!}=90 $$

である。よって、$[ウ]=90$ である。

次に、$D$ の両隣りがともに $A$ である場合を考える。このとき、$D$ の左右にある $A$ は $2$ 個とも使われるので、$ADA$ をひとまとまりとして見ることができる。

すると並べるものは

$$ ADA,\ B,\ B,\ C,\ C $$

の $5$ 個であり、$B$ と $C$ がそれぞれ $2$ 個ずつ重複している。したがって、並べ方は

$$ \frac{5!}{2!2!}=30 $$

通りである。よって、$[エ]=30$ である。

最後に、左右どちらから読んでも同じ文字順となる並べ方を考える。これは回文である。

$7$ 文字の回文では、中央に奇数個ある文字が置かれ、それ以外の文字は左右対称に配置される。この問題では、$A,B,C$ はそれぞれ $2$ 個、$D$ は $1$ 個であるから、中央は必ず $D$ である。

残りは左右対称に

$$ A,A,\quad B,B,\quad C,C $$

を置けばよい。左半分 $3$ 文字に $A,B,C$ を $1$ 個ずつ並べれば、右半分は自動的に決まる。

したがって、回文の個数は

$$ 3!=6 $$

通りである。よって、$[オ]=6$ である。

解説

重複を含む順列では、同じ文字の入れ替えを区別しないため、階乗を同じ文字の個数の階乗で割る。

$D$ の位置が指定される問題では、先に $D$ を固定して、残りの文字の重複順列を数えるのが基本である。

また、「$D$ の両隣りがともに $A$」という条件では、$ADA$ をひとまとまりと見ることで、通常の重複順列に帰着できる。

回文では、奇数個ある文字が中央に来る。この問題では $D$ だけが奇数個なので、中央は $D$ に確定し、左半分の並べ方だけを数えればよい。

答え

(1)

$$ [ア]=630,\quad [イ]=180,\quad [ウ]=90 $$

(2)

$$ [エ]=30 $$

(3)

$$ [オ]=6 $$