数学A 場合の数 問題 38 解説

方針・初手

同じ種類のものを配るときは、受け取る冊数だけを考えるので、整数解の個数として数える。

異なるものを配るときは、各ミニチュアカーが誰に配られるかを考える。少なくとも1台ずつ配る条件があるときは、誰も受け取らない人が出る場合を除く。

解法1

(1)

3人を $A,B,C$ とし、それぞれが受け取るノートの冊数を $x,y,z$ とする。

同じ種類の6冊のノートを配るので、配り方は

$$ x+y+z=6 $$

を満たす $0$ 以上の整数解の個数に等しい。

これは、6個の同じものを3つの箱に分ける場合の数であり、仕切りを2本入れると考えると

$$ {}_{6+3-1}\mathrm{C}_{3-1}={}_{8}\mathrm{C}_{2}=28 $$

である。

したがって、配り方は $28$ 通りである。

(2)

3人とも少なくとも1冊ずつ受け取るので、

$$ x+y+z=6 $$

を満たす正の整数解の個数を求めればよい。

まず各人に1冊ずつ配ると、残りは

$$ 6-3=3 $$

冊である。この3冊を3人に制限なく配ればよいから、その場合の数は

$$ {}_{3+3-1}\mathrm{C}_{3-1}={}_{5}\mathrm{C}_{2}=10 $$

である。

したがって、配り方は $10$ 通りである。

(3)

異なる6台のミニチュアカーを3人に配る。

各ミニチュアカーについて、配る相手は3人のうちのいずれかである。6台はすべて区別できるので、それぞれ独立に選べる。

したがって、配り方は

$$ 3^6=729 $$

通りである。

(4)

異なる6台のミニチュアカーを3人に配り、3人とも少なくとも1台受け取る場合を数える。

まず、制限なく配る場合は、（3） より

$$ 3^6 $$

通りである。

ここから、少なくとも1人が1台も受け取らない場合を除く。

1人を選んで、その人が何も受け取らないようにすると、6台は残り2人のどちらかに配られる。よって、そのような配り方は

$$ {}_{3}\mathrm{C}_{1}2^6 $$

通りである。

ただし、2人が何も受け取らない場合は、上の引き算で重複して引かれている。2人を選んで、その2人が何も受け取らないようにすると、6台は残り1人にすべて配られるので

$$ {}_{3}\mathrm{C}_{2}1^6 $$

通りである。

よって、求める配り方は

$$ 3^6-{}_{3}\mathrm{C}_{1}2^6+{}_{3}\mathrm{C}_{2}1^6 =729-3\cdot 64+3 =540 $$

通りである。

解説

同じ種類のものは、誰が何個受け取るかだけで決まるため、重複組合せとして数える。特に、$x+y+z=6$ の非負整数解や正の整数解として処理するのが基本である。

一方、異なるものは、1つ1つが区別されるため、それぞれについて配る相手を選ぶ。したがって、制限がなければ $3^6$ 通りになる。

「全員に少なくとも1つ」という条件は、同じものでは先に1つずつ配る方法、異なるものでは包除原理で数える方法が自然である。

答え

(1)

$28$ 通り

(2)

$10$ 通り

(3)

$729$ 通り

(4)

$540$ 通り