数学A 場合の数 問題 40 解説

方針・初手

各辺の3か所がすべてスペードである辺を「スペード辺」と呼ぶことにする。

まず、カードの数字を無視して、6か所に置くカードの「スペード・ハートの配置」だけを数える。その後、スペードを置く場所の数が $s$ 個なら、スペードのカードの入れ方は ${}_6P_s$ 通り、ハートのカードの入れ方は ${}*6P*{6-s}$ 通りであるから、1つのスート配置に対して

$$ {}_6P_s\cdot {}*6P*{6-s} $$

通りのカード配置が対応する。

解法1

6か所を、図の上から順に $\mathrm{ア},\mathrm{イ},\mathrm{ウ},\mathrm{エ},\mathrm{オ},\mathrm{カ}$ とする。3つの辺は

$$ {\mathrm{ア},\mathrm{イ},\mathrm{ウ}},\quad {\mathrm{ウ},\mathrm{エ},\mathrm{オ}},\quad {\mathrm{ア},\mathrm{カ},\mathrm{オ}} $$

である。

$n=3$ の場合

3つの辺がすべてスペード辺であるためには、6か所すべてがスペードでなければならない。

したがって、スペード6枚を6か所に並べるだけなので

$$ 6!=720 $$

通りである。

$n=2$ の場合

ちょうど2つの辺がスペード辺である場合を考える。

3つの辺のうち、スペード辺になる2辺の選び方は

$$ {}_{3}\mathrm{C}_{2}=3 $$

通りである。

2辺がスペード辺になると、その2辺に含まれる5か所はすべてスペードでなければならない。残りの1か所をスペードにすると3辺すべてがスペード辺になってしまうので、残りの1か所はハートでなければならない。

よって、各スート配置ではスペードが5か所、ハートが1か所である。カードの数字の入れ方は

$$ {}_6P_5\cdot {}_6P_1=720\cdot 6=4320 $$

通りである。

したがって

$$ 3\cdot 4320=12960 $$

通りである。

$n=1$ の場合

ちょうど1つの辺だけがスペード辺である場合を考える。

まず、スペード辺となる辺の選び方は $3$ 通りである。対称性により、1つの辺を固定して数え、最後に $3$ 倍すればよい。

例えば

$$ {\mathrm{ア},\mathrm{イ},\mathrm{ウ}} $$

をスペード辺とする。このとき $\mathrm{ア},\mathrm{イ},\mathrm{ウ}$ はすべてスペードである。

残りの3か所 $\mathrm{エ},\mathrm{オ},\mathrm{カ}$ について考える。

辺

$$ {\mathrm{ウ},\mathrm{エ},\mathrm{オ}} $$

がスペード辺にならないためには、$\mathrm{エ},\mathrm{オ}$ の少なくとも一方がハートである必要がある。

また、辺

$$ {\mathrm{ア},\mathrm{カ},\mathrm{オ}} $$

がスペード辺にならないためには、$\mathrm{カ},\mathrm{オ}$ の少なくとも一方がハートである必要がある。

したがって、$\mathrm{エ},\mathrm{オ},\mathrm{カ}$ のスート配置を数えると、全体で $2^3=8$ 通りあるうち、条件を満たすものを分類して

• スペード数が追加で $0$ 個のもの：$1$ 通り
• スペード数が追加で $1$ 個のもの：$3$ 通り
• スペード数が追加で $2$ 個のもの：$3$ 通りのうち、$\mathrm{エ},\mathrm{カ}$ がスペードで $\mathrm{オ}$ がハートの場合だけ条件を満たすので $1$ 通り
• スペード数が追加で $3$ 個のもの：$0$ 通り

である。

よって、固定した1辺が唯一のスペード辺となるスート配置は、全体のスペード数 $s$ ごとに

$$ s=3:1\text{通り},\quad s=4:3\text{通り},\quad s=5:1\text{通り} $$

である。

スペード辺の選び方が3通りあるので、全体では

$$ s=3:3\text{通り},\quad s=4:9\text{通り},\quad s=5:3\text{通り} $$

である。

それぞれにカードの数字を入れる。

スペードが3か所、ハートが3か所のときは

$$ {}_6P_3\cdot {}_6P_3=120\cdot 120=14400 $$

通りである。これが3種類あるから

$$ 3\cdot 14400=43200 $$

通りである。

スペードが4か所、ハートが2か所のときは

$$ {}_6P_4\cdot {}_6P_2=360\cdot 30=10800 $$

通りである。これが9種類あるから

$$ 9\cdot 10800=97200 $$

通りである。

スペードが5か所、ハートが1か所のときは

$$ {}_6P_5\cdot {}_6P_1=720\cdot 6=4320 $$

通りである。これが3種類あるから

$$ 3\cdot 4320=12960 $$

通りである。

したがって、$n=1$ の場合の総数は

$$ 43200+97200+12960=153360 $$

通りである。

解説

この問題では、最初から12枚の具体的なカードを並べようとすると場合分けが複雑になる。まず「スペードかハートか」だけを考え、後から数字の割り当てを掛けるのが重要である。

特に $n=1$ では、スペード辺を1つ固定しても、残りの位置に置くスペードの数が一定ではない。そのため、全体のスペード数 $s$ ごとに分けて、${}_6P_s\cdot {}*6P*{6-s}$ を掛ける必要がある。

答え

(1)

$n=3$ の場合

$$ 720 $$

通り。

(2)

$n=2$ の場合

$$ 12960 $$

通り。

(3)

$n=1$ の場合

$$ 153360 $$

通り。