数学A 場合の数 問題 41 解説

方針・初手

3桁の自然数は $100$ から $999$ までの整数である。倍数の個数は、範囲内の最小の倍数と最大の倍数を確認して数える。

「$2$ または $3$ で割り切れる」は、$2$ の倍数と $3$ の倍数の和から、重複して数えた $6$ の倍数を引く。

「各桁の数字の中に $1$ を $1$ つだけ含む」は、$1$ が百の位・十の位・一の位のどこにあるかで場合分けする。

解法1

3桁の自然数は

$$ 100,101,\dots,999 $$

である。

まず、$2$ で割り切れるものは偶数である。範囲内の最小の偶数は $100$、最大の偶数は $998$ なので、その個数は

$$ \frac{998-100}{2}+1=450 $$

である。よって

$$ \boxed{[ア]=450} $$

である。

次に、$2$ または $3$ で割り切れるものを数える。

$2$ の倍数はすでに $450$ 個である。

$3$ の倍数は、$102$ から $999$ までなので、

$$ \frac{999-102}{3}+1=300 $$

個である。

ただし、$2$ の倍数でもあり $3$ の倍数でもある数、すなわち $6$ の倍数は重複して数えている。$6$ の倍数は、$102$ から $996$ までなので、

$$ \frac{996-102}{6}+1=150 $$

個である。

したがって、包除原理より

$$ 450+300-150=600 $$

である。よって

$$ \boxed{[イ]=600} $$

である。

最後に、3桁の自然数のうち、各桁の数字の中に $1$ を $1$ つだけ含むものを数える。

（i） 百の位が $1$ の場合

数は $1\Box\Box$ の形である。十の位と一の位には $1$ 以外の数字が入るので、それぞれ

$$ 0,2,3,\dots,9 $$

の $9$ 通りである。よって

$$ 9\cdot 9=81 $$

個である。

（ii） 十の位が $1$ の場合

数は $\Box1\Box$ の形である。百の位は $0$ ではなく、かつ $1$ でもないので

$$ 2,3,\dots,9 $$

の $8$ 通りである。一の位は $1$ 以外の数字でよいので $9$ 通りである。

よって

$$ 8\cdot 9=72 $$

個である。

（iii） 一の位が $1$ の場合

数は $\Box\Box1$ の形である。百の位は $0$ ではなく、かつ $1$ でもないので $8$ 通り、十の位は $1$ 以外の数字でよいので $9$ 通りである。

よって

$$ 8\cdot 9=72 $$

個である。

以上より、求める個数は

$$ 81+72+72=225 $$

である。したがって

$$ \boxed{[ウ]=225} $$

である。

解説

倍数の個数は、範囲の端を確認して等差数列として数えるのが基本である。

「$2$ または $3$」のように条件が重なる場合は、単純に足すと $6$ の倍数を二重に数えるため、包除原理を使う。

また、各桁に関する条件では、百の位だけ $0$ が使えない点に注意する。特に、十の位や一の位に $1$ がある場合、百の位は $0$ と $1$ の両方を除くため $8$ 通りになる。

答え

$$ \boxed{[ア]=450,\quad [イ]=600,\quad [ウ]=225} $$