数学A 場合の数 問題 42 解説

方針・初手

集合を $A\cap B$，$A\setminus B$，$B\setminus A$，どちらにも属さない部分に分けて考える。

特に，$A$ と $B$ の両方に属する要素数は，和集合の要素数を用いて

$$ |A\cap B|=|A|+|B|-|A\cup B| $$

と表せる。ここで $|A\cup B|$ は全体集合 $U$ の要素数 $100$ を超えない。

解法1

$|A|=83,\ |B|=71,\ |U|=100$ である。

まず，$A$ と $B$ の両方に属する要素数の最小値を求める。

$A\cup B\subset U$ より，

$$ |A\cup B|\leqq 100 $$

である。したがって，

$$ \begin{aligned} |A\cap B| &= |A|+|B|-|A\cup B|\\ &\geqq 83+71-100\\ &= 54 \end{aligned} $$

となる。

よって，$A$ と $B$ の両方に属する要素の個数は最も少なくて $54$ 個である。

次に，$A$ に属するが $B$ に属さない要素の個数を考える。これは

$$ |A\setminus B|=|A|-|A\cap B| $$

である。

$|A\cap B|$ が最大のとき，$|A\setminus B|$ は最小になる。共通部分は $B$ の要素数 $71$ を超えないので，

$$ |A\cap B|\leqq 71 $$

であり，最大値は $71$ である。このとき，

$$ |A\setminus B|=83-71=12 $$

である。

よって，$A$ に属するが $B$ に属さない要素の個数は最も少なくて $12$ 個である。

一方，$|A\cap B|$ が最小のとき，$|A\setminus B|$ は最大になる。すでに求めたように $|A\cap B|$ の最小値は $54$ なので，

$$ |A\setminus B|=83-54=29 $$

である。

したがって，$A$ に属するが $B$ に属さない要素の個数は最も多くて $29$ 個である。

最後に，$A$ に属するが $B$ に属さない要素の個数を $x$，$B$ に属するが $A$ に属さない要素の個数を $y$ とする。また，$A$ と $B$ の両方に属する要素数を $c$ とする。

このとき，

$$ x+c=83,\qquad y+c=71 $$

である。辺々を引くと，

$$ x-y=12 $$

となる。

いま $y=7$ であるから，

$$ x=7+12=19 $$

である。

よって，$A$ に属するが $B$ に属さない要素の個数が $19$ 個のとき，$B$ に属するが $A$ に属さない要素の個数は $7$ 個である。

解説

この問題では，$A$ と $B$ の重なりがどれだけ必要かを考えることが中心である。

$A$ と $B$ の要素数の合計は

$$ 83+71=154 $$

であり，全体集合の要素数 $100$ を超えている。その超過分 $54$ は，少なくとも重なっていなければならない。

また，$A\setminus B$ の個数は $A$ のうち共通部分でない部分なので，共通部分が大きいほど小さく，共通部分が小さいほど大きくなる。

最後の条件では，$A$ と $B$ の要素数の差が

$$ 83-71=12 $$

であることから，常に

$$ |A\setminus B|-|B\setminus A|=12 $$

が成り立つ点を使う。

答え

$$ \text{ア}=54,\qquad \text{イ}=12,\qquad \text{ウ}=29,\qquad \text{エ}=19 $$