数学A 場合の数 問題 51 解説

方針・初手

同じ文字は区別しない。文字の重複は $E$ が $3$ 個、$L$ が $2$ 個である。

(1) は重複順列を基本にし、$L$ が続く場合は「$LL$ を1つのかたまり」として数える。$E$ が続かない場合は、先に $E$ 以外を並べて、そのすき間に $E$ を入れる。

(2) は取り出した4文字に含まれる $E$ と $L$ の個数で場合を分ける。

解法1

まず、9文字すべてを並べる総数を求める。

$E$ が $3$ 個、$L$ が $2$ 個あるので、重複を考慮して

$$ \frac{9!}{3!2!}=30240 $$

である。したがって

$$ \boxed{\text{ア}=30240} $$

である。

次に、$L$ が続けて並ばない並べ方を求める。

全体から、$L$ が続けて並ぶ場合を引く。$LL$ を1つのかたまりとみなすと、並べる対象は

$$ LL,\ E,E,E,\ X,\ C,\ N,\ T $$

の8個であり、この中で $E$ が3個重複している。よって、$L$ が続けて並ぶ並べ方は

$$ \frac{8!}{3!}=6720 $$

である。

したがって、$L$ が続けて並ばない並べ方は

$$ 30240-6720=23520 $$

となる。よって

$$ \boxed{\text{イ}=23520} $$

である。

次に、$E$ が続けて並ばない並べ方を求める。

まず $E$ 以外の6文字

$$ X,\ C,\ L,\ L,\ N,\ T $$

を並べる。この並べ方は、$L$ が2個重複しているので

$$ \frac{6!}{2!}=360 $$

通りである。

この6文字を並べると、$E$ を入れられるすき間は、両端を含めて7か所ある。$E$ が続けて並ばないためには、この7か所のうち異なる3か所を選び、それぞれに1個ずつ $E$ を入れればよい。

したがって、$E$ が続けて並ばない並べ方は

$$ \frac{6!}{2!}{}_{7}\mathrm{C}_{3} =360\cdot 35 =12600 $$

である。よって

$$ \boxed{\text{ウ}=12600} $$

である。

最後に、9文字から任意に4文字を取り出して並べる場合を考える。

取り出した4文字に含まれる $E$ の個数を $e$、$L$ の個数を $l$ とする。ただし

$$ 0\leq e\leq 3,\qquad 0\leq l\leq 2 $$

である。

残りは $X,C,N,T$ の4種類から選ぶ。使う文字数は $4-e-l$ 個なので、その選び方は

$$ {}_{4}\mathrm{C}_{4-e-l} $$

通りである。

また、固定された文字の組に対して、4文字の並べ方は $E$ が $e$ 個、$L$ が $l$ 個重複しているから

$$ \frac{4!}{e!l!} $$

通りである。

よって、求める総数は

$$ \sum_{\substack{0\leq e\leq 3,\ 0\leq l\leq 2\ e+l\leq 4}} {}_{4}\mathrm{C}_{4-e-l}\frac{4!}{e!l!} $$

である。これを計算すると

$$ \begin{aligned} &24+96+72\\ &+96+144+48\\ &+72+48+6\\ &+16+4\\ &=626 \end{aligned} $$

となる。

したがって

$$ \boxed{\text{エ}=626} $$

である。

解説

この問題では、同じ文字を区別しないことが重要である。特に $E$ が3個、$L$ が2個あるため、単純に $9!$ としてはいけない。

「続けて並ぶ」を数えるときは、同じ文字を1つのかたまりとして扱うのが基本である。一方、「続けて並ばない」を数えるときは、先に他の文字を並べてすき間に入れる方法が有効である。

(2) では、4文字だけを選ぶため、$E$ や $L$ の個数が場合によって変わる。そのため、$E$ の個数と $L$ の個数で整理すると、重複や数え漏れを防げる。

答え

(1)

$$ \text{ア}=30240,\qquad \text{イ}=23520,\qquad \text{ウ}=12600 $$

(2)

$$ \text{エ}=626 $$