数学A 場合の数 問題 52 解説

方針・初手

円順列では回転して一致する座り方を同じものと見るので、全員が異なる $7$ 人の座り方は $1$ 人を固定して数える。

女子が隣り合わない条件は、先に男子を円形に並べ、その間のすき間に女子を入れる。特定の人の両隣に条件がある場合は、その人を固定して左右の席を考える。

解法1

まず、$7$ 人全員の座り方は円順列であるから、

$$ (7-1)!=6!=720 $$

である。したがって、

$$ \boxed{\text{ア}=720} $$

である。

次に、女子が隣り合わない座り方を数える。まず男子 $4$ 人を円形に並べると、

$$ (4-1)!=3!=6 $$

通りである。

このとき、男子どうしの間のすき間は $4$ か所ある。女子 $3$ 人が隣り合わないためには、この $4$ か所のすき間のうち $3$ か所を選び、それぞれに女子を $1$ 人ずつ入れればよい。

したがって、

$$ 3!{}_{4}\mathrm{C}_{3}=6\cdot 4=24 $$

通りである。よって、女子が隣り合わない座り方は

$$ 6\cdot 24=144 $$

通りである。したがって、

$$ \boxed{\text{イ}=144} $$

である。

次に、A の隣が共に女子である座り方を数える。A を固定して考えると、A の左右の席に女子 $3$ 人のうち $2$ 人を順に座らせる方法は

$$ {}_3P_2=3\cdot 2=6 $$

通りである。

残りの $4$ 席には、残った女子 $1$ 人と男子 $3$ 人を自由に座らせればよいので、

$$ 4! $$

通りである。よって、

$$ 6\cdot 4!=6\cdot 24=144 $$

通りである。したがって、

$$ \boxed{\text{ウ}=144} $$

である。

次に、C の隣が共に男子である座り方を数える。C を固定して考えると、C の左右の席には、C 以外の男子 $A,B,D$ のうち $2$ 人を順に座らせればよい。

その方法は

$$ {}_3P_2=3\cdot 2=6 $$

通りである。

残りの $4$ 席には、残った男子 $1$ 人と女子 $3$ 人を自由に座らせるので、

$$ 4! $$

通りである。したがって、

$$ 6\cdot 4!=144 $$

通りである。よって、

$$ \boxed{\text{エ}=144} $$

である。

最後に、G の隣に A が座らない座り方を数える。全体の座り方 $720$ 通りから、A と G が隣り合う座り方を引く。

A と G が隣り合うとき、A と G を $1$ つの組として考える。この組と残り $5$ 人、合わせて $6$ 個を円形に並べるので、

$$ (6-1)!=5!=120 $$

通りである。

また、組の中の並び方は

$$ AG,\ GA $$

の $2$ 通りである。したがって、A と G が隣り合う座り方は

$$ 2\cdot 120=240 $$

通りである。

よって、G の隣に A が座らない座り方は

$$ 720-240=480 $$

通りである。したがって、

$$ \boxed{\text{オ}=480} $$

である。

解説

円順列では、まず $1$ 人を固定して回転の重複を除くことが基本である。

「女子が隣り合わない」は、女子を直接並べるよりも、男子を先に円形に並べて、その間のすき間に女子を入れる方が条件を扱いやすい。

また、「A の両隣」「C の両隣」のような条件は、その人を固定すると左右の席がはっきりするため、順列として素直に数えられる。

「隣に座らない」は直接数えるよりも、全体から「隣に座る」を引く方が簡単である。隣り合う $2$ 人を $1$ つの組として扱うのが典型処理である。

答え

$$ \boxed{\text{ア}=720} $$

$$ \boxed{\text{イ}=144} $$

$$ \boxed{\text{ウ}=144} $$

$$ \boxed{\text{エ}=144} $$

$$ \boxed{\text{オ}=480} $$