数学A 場合の数 問題 53 解説

方針・初手

文字列 KANNSAI は、$A$ が $2$ 個、$N$ が $2$ 個あり、$K,S,I$ はそれぞれ $1$ 個ずつある。

同じ文字を含む順列なので、基本は

$$ \frac{7!}{2!2!} $$

を出発点にする。条件付きの問題では、同じ文字の重複を考慮しながら、位置の選び方や相対的な順序で数える。

解法1

(1)

$7$ 文字のうち、$A$ が $2$ 個、$N$ が $2$ 個重複しているので、すべての文字を使った並べ方は

$$ \frac{7!}{2!2!}=1260 $$

である。

したがって、①は

$$ 1260 $$

である。

(2)

$K,S,I$ の相対的な順序だけに注目する。

$K,S,I$ の並び順は全部で

$$ 3!=6 $$

通りあり、そのうち $K,S,I$ がこの順にあるものは $1$ 通りである。

重複している $A,N$ の扱いはどの相対順序でも同じなので、(1) の総数を $6$ 等分すればよい。

よって

$$ \frac{1260}{6}=210 $$

である。

したがって、②は

$$ 210 $$

である。

(3)

「どの $A$ もどの $N$ より前にある」とは、$2$ 個の $A$ がともに $2$ 個の $N$ より前にあるということである。

まず、$A,A,N,N$ が入る $4$ 個の位置を $7$ 個の位置から選ぶ。条件を満たすには、その選んだ $4$ 個の位置のうち前の $2$ 個に $A,A$、後ろの $2$ 個に $N,N$ を置くしかない。

その選び方は

$$ {}_{7}\mathrm{C}_{4} $$

通りである。

残り $3$ 個の位置に $K,S,I$ を並べる方法は

$$ 3! $$

通りである。

したがって求める数は

$$ {}_{7}\mathrm{C}_{4} \cdot 3! = 35 \cdot 6 = 210 $$

である。

よって、③は

$$ 210 $$

である。

(4)

偶数番目の位置は $2,4,6$ の $3$ 箇所である。

$K,S,I$ が偶数番目に並ぶには、この $3$ 箇所に $K,S,I$ を入れればよい。その並べ方は

$$ 3! $$

通りである。

残りの奇数番目の位置 $1,3,5,7$ には $A,A,N,N$ を入れる。これは同じ文字を含むので

$$ \frac{4!}{2!2!}=6 $$

通りである。

したがって求める数は

$$ 3! \cdot \frac{4!}{2!2!}=6 \cdot 6=36 $$

である。

よって、④は

$$ 36 $$

である。

(5)

$7$ 文字から $5$ 文字を取ることは、逆に $2$ 文字を取り除くこととして数える。

取り除く $2$ 文字の種類ごとに、残った $5$ 文字の並べ方を数える。

(i)

$K,S,I$ のうち異なる $2$ 文字を取り除く場合

残る文字は $A,A,N,N$ と、$K,S,I$ のうち $1$ 文字である。

並べ方は

$$ \frac{5!}{2!2!}=30 $$

通りであり、取り除く文字の選び方は

$$ {}_{3}\mathrm{C}_{2}=3 $$

通りである。

したがって

$$ 3 \cdot 30 = 90 $$

通りである。

(ii)

$A$ を $1$ 個と、$K,S,I$ のうち $1$ 文字を取り除く場合

残る文字は $A,N,N$ と、$K,S,I$ のうち $2$ 文字である。

並べ方は

$$ \frac{5!}{2!}=60 $$

通りであり、取り除く $K,S,I$ の選び方は $3$ 通りである。

したがって

$$ 3 \cdot 60 = 180 $$

通りである。

(iii)

$N$ を $1$ 個と、$K,S,I$ のうち $1$ 文字を取り除く場合

(ii) と同様に

$$ 3 \cdot \frac{5!}{2!}=180 $$

通りである。

(iv)

$A$ と $N$ を $1$ 個ずつ取り除く場合

残る文字は $A,N,K,S,I$ であり、すべて異なるので

$$ 5! = 120 $$

通りである。

(v)

$A$ を $2$ 個取り除く場合

残る文字は $N,N,K,S,I$ であるから

$$ \frac{5!}{2!}=60 $$

通りである。

(vi)

$N$ を $2$ 個取り除く場合

残る文字は $A,A,K,S,I$ であるから

$$ \frac{5!}{2!}=60 $$

通りである。

以上を合計して

$$ 90+180+180+120+60+60=690 $$

である。

したがって、⑤は

$$ 690 $$

である。

解説

この問題では、$A$ と $N$ がそれぞれ $2$ 個ずつあるため、単純に階乗で数えると重複分を数えすぎる。

(1) は同じ文字を含む順列の基本問題である。(2) は $K,S,I$ の相対的な順序に注目すると、全体を $3!$ 等分できる。(3) は $A,A,N,N$ の入る位置を選ぶと、条件により $A,A,N,N$ の配置が一意に決まる点が重要である。

(5) は、選んだ $5$ 文字の種類によって重複の様子が変わるため、場合分けが必要である。直接「$5$ 文字を選ぶ」と考えるより、「$2$ 文字を取り除く」と考える方が整理しやすい。

答え

$$ \boxed{①=1260} $$

$$ \boxed{②=210} $$

$$ \boxed{③=210} $$

$$ \boxed{④=36} $$

$$ \boxed{⑤=690} $$