数学A 場合の数 問題 56 解説

方針・初手

7個の球はすべて色が異なるので、球は区別して数える。

また、A，B，Cのケースは名前がついているので区別する。一方、3つのグループは名前がついていないので区別しない。この違いが(2)と(3)の差である。

解法1

(1)

7個の球から6個を取り出す方法は

$$ {}_7 \mathrm{C}_{6}=7 $$

通りである。

取り出した6個の球を、A，B，Cのケースに2個ずつ入れる。Aに入れる2個、Bに入れる2個を選べば、残り2個はCに入るので、

$$ {}_6 \mathrm{C}_{2} \cdot {}_4 \mathrm{C}_{2} \cdot {}_2 \mathrm{C}_{2} =15\cdot 6\cdot 1 =90 $$

通りである。

したがって、求める方法の数は

$$ {}_7 \mathrm{C}_{6} \cdot {}_6 \mathrm{C}_{2} \cdot {}_4 \mathrm{C}_{2} \cdot {}_2 \mathrm{C}_{2} =7\cdot 90 =630 $$

通りである。

(2)

7個の球をA，B，Cの3つのケースに分ける。ただし各ケースには少なくとも1個入る。

まず、各球についてA，B，Cのどれに入れるかを自由に選ぶと、

$$ 3^7 $$

通りである。

ここから、空のケースがある場合を除く。

1つのケースが空になる場合を考える。空になるケースの選び方は3通りであり、残り2つのケースへの入れ方は

$$ 2^7 $$

通りである。よって

$$ 3\cdot 2^7 $$

通りを引く。

ただし、2つのケースが空になる場合は二重に引かれている。2つのケースが空、すなわち全ての球が1つのケースに入る場合は3通りであるから、これを足し戻す。

したがって求める方法の数は

$$ 3^7-3\cdot 2^7+3 =2187-384+3 =1806 $$

通りである。

(3)

7個の球を3つのグループに分ける。ただし各グループには少なくとも1個入る。グループにはA，B，Cのような名前がついていないので、グループの順序は区別しない。

(2)ではA，B，Cという名前のついた3つのケースに分けたので、同じ3つのグループでも、グループ名の付け方が

$$ 3! $$

通りある。

したがって、(2)の答えを $3!$ で割ればよい。

$$ \begin{aligned} \frac{1806}{3!} &= \frac{1806}{6} \\ 301 \end{aligned} $$

よって、求める方法の数は301通りである。

解説

この問題の中心は、「球が区別されるか」と「入れ物やグループが区別されるか」の判定である。

7個の球はすべて色が異なるので、球は区別する。一方、A，B，Cのケースは名前がついているので区別する。したがって(1)，(2)では、Aに入る場合とBに入る場合は別の方法として数える。

しかし(3)の「3つのグループ」は名前がないため、グループの並び順は区別しない。そのため、(2)で数えたものを $3!$ で割る必要がある。

特に(2)と(3)は条件が似ているが、ケースが区別されるかどうかが異なるため、答えは6倍だけ違う。

答え

(1)

$$ 630 $$

通り。

(2)

$$ 1806 $$

通り。

(3)

$$ 301 $$

通り。