数学A 場合の数 問題 58 解説

方針・初手

9人はすべて区別して数える。

1列に並ぶ問題では、条件を満たす男子の位置を先に決めるか、男子3人を1つのかたまりとして扱う。円形に並ぶ問題では、まず女子6人を円形に並べ、そのすき間に男子を入れると、男子同士が隣り合わない条件を処理しやすい。

解法1

（1） 男子3人が続いて並ぶ場合を考える。

男子3人を1つのかたまりとみなす。このかたまりと女子6人を合わせると、全部で7個のものを1列に並べることになるので、その並べ方は $7!$ 通りである。

さらに、男子3人のかたまりの内部での並べ方が $3!$ 通りある。

したがって、求める並べ方は

$$ 7!\cdot 3!=5040\cdot 6=30240 $$

である。

（2） 両端が男子になる場合を考える。

左端と右端に入る男子を、男子3人から順に選ぶ。これは

$$ {}_3P_2=3\cdot 2=6 $$

通りである。

残った7人は中央の7か所に自由に並べればよいので、並べ方は $7!$ 通りである。

よって、求める並べ方は

$$ {}_3P_2\cdot 7!=6\cdot 5040=30240 $$

である。

（3） 男子がどの2人も隣り合わないように円形に並ぶ場合を考える。

まず、女子6人を円形に並べる。円順列なので、その並べ方は

$$ (6-1)!=5! $$

通りである。

女子6人を円形に並べると、女子と女子の間のすき間は6か所できる。男子同士が隣り合わないためには、この6か所のすき間から3か所を選び、そこに男子を1人ずつ入れればよい。

すき間の選び方は ${}_{6}\mathrm{C}_{3}$ 通り、男子3人の並べ方は $3!$ 通りである。

したがって、求める並べ方は

$$ 5!{}_{6}\mathrm{C}_{3}3! =120\cdot 20\cdot 6 =14400 $$

である。

解説

（1） は「連続する3人」を1つのかたまりとして扱うのが基本である。ただし、かたまりの中の男子3人の並べ方を忘れてはいけない。

（2） は両端の2か所だけが特別なので、先に端に入る男子を順序つきで決めるとよい。その後、残りは自由に並べる。

（3） は円順列であるため、最初に女子を円形に固定して考えるのが自然である。女子の間のすき間に男子を入れれば、男子同士が隣り合わない条件を直接満たせる。

答え

(1)

$30240$ 通り

(2)

$30240$ 通り

(3)

$14400$ 通り