数学A 場合の数 問題 59 解説

方針・初手

対角線を2本選ぶ問題なので、まず対角線全体の本数を数える。

正 $n$ 角形の対角線の本数は、頂点2個の選び方から辺の本数を引いて

$$ {}_{n}\mathrm{C}_{2}-n=\frac{n(n-3)}{2} $$

である。

2本の対角線の共有の仕方は、次の3つに分けられる。

（i） 頂点を共有する。

（ii） 頂点以外の点、つまり内部の交点を共有する。

（iii） 共有点をもたない。

この3つは互いに重ならず、すべての場合を尽くす。

解法1

まず、頂点を共有する対角線の組を数える。

1つの頂点から引ける対角線は、隣り合う2頂点と自分自身を除いた頂点に向かうものなので

$$ n-3 $$

本である。

したがって、1つの頂点を共有点としてもつ対角線2本の選び方は

$$ {}_{n-3}\mathrm{C}_{2} $$

通りである。頂点は $n$ 個あり、異なる2本の対角線が2つの頂点を同時に共有することはない。よって、頂点を共有する対角線の組は

$$ \begin{aligned} n{}_{n-3}\mathrm{C}_{2} &= \frac{n(n-3)(n-4)}{2} \end{aligned} $$

通りである。

次に、頂点以外の点を共有する対角線の組を数える。

凸な $n$ 角形において、2本の対角線が内部で交わるためには、4つの異なる頂点を選び、それらを円周上の順に見たとき、互い違いになる2本を結べばよい。

逆に、4つの頂点を選ぶと、その4頂点でできる四角形の2本の対角線はちょうど1組だけ内部で交わる。したがって、頂点以外の点を共有する対角線の組は

$$ \begin{aligned} {}_{n}\mathrm{C}_{4} &= \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24} \end{aligned} $$

通りである。

最後に、共有点をもたない対角線の組を数える。

対角線全体の本数は $\dfrac{n(n-3)}{2}$ 本であるから、異なる2本の対角線の組全体は

$$ {}_{\frac{n(n-3)}{2}}\mathrm{C}_{2} $$

通りである。

ここから、頂点を共有するものと、頂点以外の点を共有するものを除けばよい。よって求める数は

$$ \begin{aligned} &{}_{\frac{n(n-3)}{2}}\mathrm{C}_{2} &= n{}_{n-3}\mathrm{C}_{2} {}_{n}\mathrm{C}_{4} \\ &= \frac{n(n-3)(n^2-3n-2)}{8} &= \frac{n(n-3)(n-4)}{2} \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24} \\ &= \frac{n(n-3)}{24} {3(n^2-3n-2)-12(n-4)-(n-1)(n-2)} \\ &= \frac{n(n-3)}{24} {2n^2-18n+40} \\ &= \frac{n(n-3)(n-4)(n-5)}{12}. \end{aligned} $$

解説

この問題の要点は、「2本の対角線の組」を共有点の種類で分類することである。

頂点を共有する場合は、1つの頂点に注目して、その頂点から出る対角線を2本選ぶ。

内部で交わる場合は、4頂点を選ぶことと1対1に対応させるのが典型的である。4つの頂点を選ぶと、それらが作る四角形の2本の対角線がちょうど1組の交差する対角線を与える。

共有点をもたない場合を直接数えるよりも、対角線2本の全体から、共有点をもつ2種類を引く方が処理が簡潔である。

答え

(1)

$$ \frac{n(n-3)(n-4)}{2} $$

(2)

$$ \begin{aligned} {}_{n}\mathrm{C}_{4} &= \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24} \end{aligned} $$

(3)

$$ \frac{n(n-3)(n-4)(n-5)}{12} $$