数学A 場合の数 問題 61 解説

方針・初手

いずれも正の整数解の個数を数える問題である。1つの文字を動かして、残りの文字が正の整数になる条件を調べる。

特に、右辺と係数の偶奇から、動かす文字の偶奇条件が出る点に注意する。

解法1

(1)

$$ a+2b=301 $$

より、

$$ a=301-2b $$

である。

$a,b$ は正の整数なので、$b\geqq 1$ かつ $a\geqq 1$ が必要である。したがって、

$$ 301-2b\geqq 1 $$

より、

$$ 2b\leqq 300 $$

すなわち、

$$ b\leqq 150 $$

である。

よって $b$ は

$$ 1,2,3,\ldots,150 $$

の $150$ 通りである。各 $b$ に対して $a=301-2b$ は正の整数としてただ1つ定まる。

したがって、求める個数は

$$ 150 $$

である。

(2)

$$ 2a+3b=401 $$

より、

$$ 2a=401-3b $$

である。

$a$ が整数であるためには、$401-3b$ が偶数でなければならない。$401$ は奇数であり、$3b$ の偶奇は $b$ の偶奇と同じだから、$401-3b$ が偶数になるのは $b$ が奇数のときである。

また、$a$ が正であるためには、

$$ 401-3b\geqq 2 $$

が必要である。よって、

$$ 3b\leqq 399 $$

より、

$$ b\leqq 133 $$

である。

したがって、$b$ は $1$ 以上 $133$ 以下の奇数である。その個数は

$$ 1,3,5,\ldots,133 $$

であり、

$$ \frac{133+1}{2}=67 $$

通りである。

各 $b$ に対して $a$ はただ1つ定まるので、求める個数は

$$ 67 $$

である。

(3)

$$ 2a+2b+3c=601 $$

より、

$$ 2a+2b=601-3c $$

すなわち、

$$ 2(a+b)=601-3c $$

である。

左辺は偶数なので、右辺 $601-3c$ も偶数でなければならない。$601$ は奇数であり、$3c$ の偶奇は $c$ の偶奇と同じだから、$c$ は奇数である。

また、$a,b$ は正の整数なので、

$$ a+b\geqq 2 $$

である。したがって、

$$ 2(a+b)\geqq 4 $$

より、

$$ 601-3c\geqq 4 $$

である。これを解くと、

$$ 3c\leqq 597 $$

より、

$$ c\leqq 199 $$

である。

よって、$c$ は $1$ 以上 $199$ 以下の奇数である。そこで

$$ c=2k-1 \quad (k=1,2,\ldots,100) $$

とおく。

このとき、

$$ 2(a+b)=601-3(2k-1) $$

より、

$$ 2(a+b)=604-6k $$

したがって、

$$ a+b=302-3k $$

である。

正の整数 $a,b$ について、$a+b=s$ をみたす組 $(a,b)$ の個数は $s-1$ 個である。よって、固定した $k$ に対する組 $(a,b)$ の個数は

$$ (302-3k)-1=301-3k $$

である。

したがって、求める個数は

$$ \sum_{k=1}^{100}(301-3k) $$

である。これを計算すると、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{100}(301-3k) &=301\cdot 100-3\sum_{k=1}^{100}k\\ &=30100-3\cdot \frac{100\cdot 101}{2}\\ &=30100-15150\\ &=14950 \end{aligned} $$

である。

解説

この問題では、正の整数解を数えるときに「1つの文字を固定して残りを数える」方針が有効である。

(1) は $b$ の範囲だけを調べればよい。(2) は $a$ が整数になるための偶奇条件が必要で、$b$ が奇数に限られる。(3) も同様に $c$ の偶奇条件を調べたうえで、各 $c$ に対して $a+b$ の正の整数解の個数を数える。

特に (3) では、$a+b=s$ の正の整数解の個数が $s-1$ 個であることを使うのが典型処理である。

答え

(1)

$150$ 個

(2)

$67$ 個

(3)

$14950$ 個