数学A 場合の数 問題 62 解説

方針・初手

使う数字は $0,1,2,2,3$ であり、$2$ が重複していること、また $5$ 桁の自然数なので最高位に $0$ は置けないことに注意する。

偶数の個数は一の位で場合分けする。総和は、いったん $0$ で始まる並びも含めて考え、あとから最高位が $0$ のものを除くと扱いやすい。

解法1

（1） 偶数である数の個数

偶数になるには、一の位が $0$ または $2$ であればよい。

（i） 一の位が $0$ の場合

残りの $1,2,2,3$ を上 $4$ 桁に並べる。$2$ が $2$ 個あるので、その並べ方は

$$ \frac{4!}{2!}=12 $$

通りである。

（ii） 一の位が $2$ の場合

一の位に $2$ を $1$ 個置くと、残りは $0,1,2,3$ である。

これら $4$ 個を上 $4$ 桁に並べる並べ方は $4!$ 通りあるが、最高位が $0$ になるものは $5$ 桁の自然数ではない。最高位が $0$ のとき、残りの $1,2,3$ の並べ方は $3!$ 通りである。

したがって、この場合の個数は

$$ 4!-3!=24-6=18 $$

通りである。

よって、偶数である数の個数は

$$ 12+18=30 $$

である。

（2） すべての数の和

まず、$0$ で始まる並びも含めて、$0,1,2,2,3$ のすべての並べ方を考える。

$2$ が $2$ 個あるので、全体の並べ方は

$$ \frac{5!}{2!}=60 $$

通りである。

この $60$ 通りでは、各位に数字が対称に現れる。数字の和は

$$ 0+1+2+2+3=8 $$

であるから、各位に現れる数字の総和は

$$ 60\cdot \frac{8}{5}=96 $$

である。

よって、$0$ で始まる並びも含めた全体の和は

$$ 96(10000+1000+100+10+1)=96\cdot 11111=1066656 $$

である。

次に、最高位が $0$ のものを除く。最高位を $0$ に固定すると、残りの $1,2,2,3$ の並べ方は

$$ \frac{4!}{2!}=12 $$

通りである。

この $12$ 通りにおいて、下 $4$ 桁の各位に現れる数字の総和は

$$ 12\cdot \frac{1+2+2+3}{4}=12\cdot 2=24 $$

である。

したがって、最高位が $0$ のものの和は

$$ 24(1000+100+10+1)=24\cdot 1111=26664 $$

である。

ゆえに、求めるすべての $5$ 桁の自然数の和は

$$ 1066656-26664=1039992 $$

である。

解説

この問題では、$0$ を含む数字の並べ方であるため、最高位に $0$ を置けないという制約を最後まで意識する必要がある。

（1） では、一の位が $0$ の場合と $2$ の場合で、最高位に $0$ が来る可能性の有無が変わる。一の位が $0$ の場合は最高位に $0$ が来ないが、一の位が $2$ の場合は残りに $0$ があるため、最高位が $0$ の並びを除く必要がある。

（2） では、各位への寄与を直接数えてもよいが、$0$ で始まる並びも含めて対称性を使い、あとから不適切なものを引くと計算が整理される。

答え

(1)

$$ 30 $$

(2)

$$ 1039992 $$