数学A 場合の数 問題 64 解説

方針・初手

同じ色の玉は各色 $2$ 個ずつしかないので、「隣り合う箱に同じ色が入る」という条件違反は、ある色の $2$ 個が隣り合っていることと同じである。

まず、赤 $2$ 個、黄 $2$ 個、青 $2$ 個を区別せずに並べる総数を数え、そこから「同じ色の $2$ 個が隣り合う場合」を包除原理で除く。

解法1

赤、黄、青をそれぞれ $R,Y,B$ と表す。

条件を無視して、$R,R,Y,Y,B,B$ を $6$ 個の箱に並べる方法は

$$ \frac{6!}{2!2!2!}=90 $$

通りである。

ここから、同じ色の $2$ 個が隣り合うものを除く。

赤の $2$ 個が隣り合う場合を考える。このとき $RR$ を $1$ つのまとまりとみなすと、

$$ RR,\ Y,\ Y,\ B,\ B $$

の $5$ 個を並べることになる。したがって、その数は

$$ \frac{5!}{2!2!}=30 $$

通りである。

黄、青についても同様なので、少なくとも一色について隣り合う場合を単純に足すと

$$ 3 \cdot 30 $$

通りである。

ただし、例えば赤と黄がともに隣り合う場合は重複して数えている。この場合は $RR,YY,B,B$ の $4$ 個を並べればよいので、

$$ \frac{4!}{2!}=12 $$

通りである。

隣り合う色の組の選び方は

$$ {}_{3}\mathrm{C}_{2}=3 $$

通りだから、重複分として

$$ 3 \cdot 12 $$

を引きすぎないように考える。

さらに、赤・黄・青のすべてがそれぞれ隣り合う場合は、$RR,YY,BB$ の $3$ つのまとまりを並べるので

$$ 3! = 6 $$

通りである。

したがって、条件に反する並べ方は、包除原理より

$$ 3\cdot 30 - 3\cdot 12 + 6 = 60 $$

通りである。

よって、求める入れ方は

$$ 90-60=30 $$

通りである。

解説

この問題では、箱に番号がついているため、$1$ 番から $6$ 番までの一列に玉の色を並べる問題として考えればよい。

重要なのは、同じ色が各 $2$ 個ずつしかないことである。そのため、同じ色が隣り合うかどうかは「その色の $2$ 個がひとまとまりになるかどうか」で処理できる。したがって、包除原理と「まとまりとして数える」方法が自然である。

条件を満たすものを直接数えようとすると場合分けが複雑になりやすい。一方、全体から条件違反を除く方針では、各色が $2$ 個ずつという条件をそのまま使えるため、計算が整理される。

答え

$$ 30 $$

通り。