数学A 場合の数 問題 65 解説

方針・初手

正八角形の頂点はすべて同一円周上にある。したがって、3頂点でできる三角形が直角三角形になる条件は、選んだ3点の中に円の直径の両端、つまり向かい合う頂点の組が含まれることである。

また、二等辺三角形は、ある頂点を頂角として、その左右に同じ個数だけ離れた頂点を選ぶことで数えられる。

解法1

正八角形の向かい合う頂点の組は

$$ (A_1,A_5),\ (A_2,A_6),\ (A_3,A_7),\ (A_4,A_8) $$

の $4$ 組である。

（1） 直角三角形の個数

円周上の3点でできる三角形が直角三角形となるのは、3点の中に直径の両端が含まれるときである。

向かい合う頂点の組は $4$ 組あり、その1組を選んだあと、残りの1頂点は他の $6$ 個の頂点から選べる。

よって、直角三角形の個数は

$$ 4 \times 6 = 24 $$

である。

（2） 直角三角形でも二等辺三角形でもない三角形の個数

まず、3頂点を選んでできる三角形の総数は

$$ {}_8C_3=56 $$

である。

次に、二等辺三角形の個数を数える。頂角となる頂点を1つ固定する。正八角形なので、その頂点から左右に同じだけ離れた2頂点を選べば二等辺三角形になる。

左右に $1$ 個ずつ、$2$ 個ずつ、$3$ 個ずつ離れた頂点を選べるので、頂角の決め方は各頂点について $3$ 通りである。

したがって、二等辺三角形の個数は

$$ 8 \times 3 = 24 $$

である。

ただし、直角三角形と二等辺三角形の両方に含まれる三角形、すなわち直角二等辺三角形を重複して引くことになるので、その個数を数える。

直角二等辺三角形は、直径の両端を斜辺とし、その半円弧の中央にある頂点を第3の頂点とする場合である。各直径に対して、第3の頂点は両側に $2$ 通りある。

よって、直角二等辺三角形の個数は

$$ 4 \times 2 = 8 $$

である。

したがって、直角三角形でも二等辺三角形でもない三角形の個数は

$$ 56-24-24+8=16 $$

である。

（3） 条件 （*） を満たす四角形の個数

条件 （*） は、四角形の4頂点の中から3点を選んで直角三角形を作れるという条件である。

円周上の3点で直角三角形ができるには、その3点の中に直径の両端が含まれていればよい。したがって、四角形の4頂点の中に、正八角形の向かい合う頂点の組が少なくとも1組含まれていればよい。

向かい合う頂点の組は $4$ 組ある。まず1組を選ぶと $4$ 通りであり、残り2頂点は残った $6$ 頂点から選ぶので

$$ 4 \times {}_6C_2=4 \times 15=60 $$

通りである。

ただし、2組の向かい合う頂点を含む四角形は、上の数え方で2回数えられている。向かい合う頂点の組を2組選ぶ方法は

$$ {}_4C_2=6 $$

通りである。

したがって、条件 （*） を満たす四角形の個数は

$$ 60-6=54 $$

である。

解説

この問題では、正八角形の頂点がすべて同一円周上にあることを使い、直角三角形を「直径の両端を含む三角形」と言い換えるのが重要である。

二等辺三角形は辺の長さを直接計算するよりも、正八角形の対称性を利用して、頂角を固定して左右対称に頂点を選ぶと数えやすい。

また、（2） では「直角三角形」と「二等辺三角形」を単純に引くと、直角二等辺三角形を二重に引いてしまう。そのため、包除原理で重複分を戻す必要がある。

（3） では、4頂点の中に向かい合う頂点の組が少なくとも1組あればよい。ここでも、2組の向かい合う頂点を含む場合の重複に注意する。

答え

(1)

$$ 24 $$

(2)

$$ 16 $$

(3)

$$ 54 $$