数学A 場合の数(塗り分け問題) 問題 1 解説

方針・初手

赤の面はただ $1$ つである。したがって、まず赤の面を固定して考えるとよい。

赤の面を固定したあとも、その面を保ったまま回転できる場合があるので、その残った回転によって同一になる白の配置を数える。白の配置が決まれば、残りはすべて青で決まる。

解法1

（1） 正六面体の場合

正六面体の赤の面を上面に固定する。このとき、上面を保つ回転は、上面の中心と下面の中心を結ぶ軸のまわりの $90^\circ$ 回転であり、側面 $4$ 面を正方形状に回す。

白は $2$ 面である。下面を白にするかどうかで分ける。

（i） 下面を白にする場合

もう $1$ つの白は側面 $4$ 面のどれかであるが、側面 $4$ 面は回転で互いに移り合う。よって、この場合は $1$ 通りである。

（ii） 下面を白にしない場合

白 $2$ 面は側面 $4$ 面から選ぶ。側面 $4$ 面を正方形の辺のように見ると、白 $2$ 面の位置関係は次の $2$ 種類である。

隣り合う $2$ 面を白にする場合と、向かい合う $2$ 面を白にする場合である。したがって、この場合は $2$ 通りである。

以上より、正六面体の場合は

$$ 1+2=3 $$

通りである。

（2） 正八面体で赤 $1$ 面、白 $1$ 面の場合

正八面体の赤の面を固定する。赤の面に向かい合う面を $O$ とする。

赤の面を保つ回転は、その赤の面と向かい合う面 $O$ の中心を結ぶ軸のまわりの $120^\circ$ 回転である。この回転により、赤の面以外の $7$ 面は次の $3$ 種類に分かれる。

赤の面に向かい合う面 $O$、赤の面と辺を共有する $3$ 面、面 $O$ と辺を共有する $3$ 面である。

白は $1$ 面だけなので、白の位置はこの $3$ 種類のいずれかで決まる。よって、正八面体で赤 $1$ 面、白 $1$ 面、青 $6$ 面の場合は $3$ 通りである。

（3） 正八面体で赤 $1$ 面、白 $2$ 面の場合

同じく、正八面体の赤の面を固定する。赤の面に向かい合う面を $O$ とする。

赤の面と辺を共有する $3$ 面を $A_1,A_2,A_3$、面 $O$ と辺を共有する $3$ 面を $B_1,B_2,B_3$ とする。赤の面を保つ $120^\circ$ 回転により、

$$ A_1\to A_2\to A_3\to A_1,\qquad B_1\to B_2\to B_3\to B_1 $$

のように同時に回転する。

白 $2$ 面の選び方を分類する。

(i)

$O$ を白に含む場合

もう $1$ つの白は、$A_1,A_2,A_3$ のどれか、または $B_1,B_2,B_3$ のどれかである。

$A_1,A_2,A_3$ は回転で互いに移り合い、$B_1,B_2,B_3$ も回転で互いに移り合う。したがって、この場合は $2$ 通りである。

(ii)

$O$ を白に含まず、白 $2$ 面がともに $A$ 側にある場合

$A_1,A_2,A_3$ から $2$ 面を選ぶが、どの $2$ 面を選んでも回転で移り合う。よって $1$ 通りである。

(iii)

$O$ を白に含まず、白 $2$ 面がともに $B$ 側にある場合

同様に $1$ 通りである。

(iv)

$O$ を白に含まず、白が $A$ 側と $B$ 側に $1$ 面ずつある場合

白を $A_i$ と $B_j$ に置くとする。$120^\circ$ 回転では添字が同時に $1$ つずつずれるので、差 $j-i$ を $3$ で割った余りが同じものは同一視される。

したがって、

$$ j-i\equiv 0,1,2\pmod 3 $$

の $3$ 種類がある。よってこの場合は $3$ 通りである。

以上より、正八面体で赤 $1$ 面、白 $2$ 面、青 $5$ 面の場合は

$$ 2+1+1+3=7 $$

通りである。

解説

この問題では、赤の面がただ $1$ つであることが重要である。赤の面を先に固定すれば、全体の回転による同一視を、赤の面を保つ回転だけに限定できる。

正六面体では、赤の面を固定したあとの残りの回転は側面 $4$ 面の回転である。したがって、白 $2$ 面が下面を含むか、側面だけにあるかで分けると見通しがよい。

正八面体では、赤の面を固定すると、残りの面は「向かい合う面 $O$」「赤の面に接する $3$ 面」「面 $O$ に接する $3$ 面」に分かれる。特に （3） では、白 $2$ 面がどのグループに属するかだけでなく、$A$ 側と $B$ 側に $1$ 面ずつあるときの相対的なずれを区別する必要がある。

答え

(1)

$3$ 通り

(2)

$3$ 通り

(3)

$7$ 通り