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数学A 場合の数(塗り分け問題) 問題 2 解説

方針・初手

立方体の $6$ つの面は、互いに向かい合う $3$ 組の面に分けられる。

辺を共有する面には別の色を塗るので、同じ色を塗れるのは向かい合う $2$ 面だけである。したがって、同じ色が $3$ 面以上に使われることはなく、同じ色を $2$ 回使う場合は必ず向かい合う $2$ 面に塗られる。

この性質を使い、色の使われ方を分類して数える。

解法1

立方体の回転によって重なるものは同じ塗り方とみなす。

（1） $6$ 種の色をすべて用いる場合

$6$ つの面すべてが異なる色で塗られる。

まず、回転を区別して考えると、$6$ つの色を $6$ つの面に塗る方法は

$$ 6! $$

通りである。

すべての面の色が異なるので、回転しても元の塗り方と一致する非自明な回転は存在しない。立方体の回転は $24$ 通りあるから、求める数は

$$ \frac{6!}{24}=\frac{720}{24}=30 $$

通りである。

（2） $5$ 種の色をすべて用いる場合

$6$ つの面に $5$ 種の色をすべて使うので、ちょうど $1$ 色だけが $2$ 回使われる。

同じ色を塗れるのは向かい合う $2$ 面だけであるから、重複する色は、ある向かい合う $2$ 面に塗られる。

重複する色の選び方は

$$ 5 $$

通りである。

その重複する色が塗られた向かい合う $2$ 面を上下の面と考える。残りの $4$ 色は、側面の $4$ 面にすべて異なる色で塗られる。

側面 $4$ 面の塗り方は、正方形の周りに $4$ 色を並べることと同じである。回転・裏返しに対応する立方体の回転で同じものは同一視されるので、$4$ 色の円周上の並べ方を反転も同一として数えればよい。

したがって、$4$ 色の並べ方は

$$ \frac{4!}{8}=3 $$

通りである。

よって求める数は

$$ 5\cdot 3=15 $$

通りである。

（3） $4$ 種の色をすべて用いる場合

$6$ つの面に $4$ 種の色をすべて使うので、色の使われ方は

$$ 2,2,1,1 $$

となる。

つまり、$2$ 色がそれぞれ $2$ 回ずつ使われ、残りの $2$ 色がそれぞれ $1$ 回ずつ使われる。

$2$ 回使われる色の選び方は

$$ {}_{4}\mathrm{C}_{2}=6 $$

通りである。

選ばれた $2$ 色は、それぞれ向かい合う $2$ 面の組に塗られる。残った $2$ 色は、残りの向かい合う $2$ 面に $1$ 色ずつ塗られる。

ここで、立方体の回転によって、向かい合う面の $3$ 組は互いに入れ替えられる。また、向かい合う $2$ 面の上下も回転によって入れ替えられる。

したがって、どの向かい合う面の組にどの色を置くかという位置の違いは、回転によって吸収される。よって、区別されるのは「どの $2$ 色が $2$ 回使われるか」だけである。

したがって求める数は

$$ {}_{4}\mathrm{C}_{2}=6 $$

通りである。

解説

この問題の要点は、立方体の面の隣接関係を正しく見ることである。

立方体の $6$ 面のうち、ある面と辺を共有しない面はただ $1$ つ、すなわち向かい合う面だけである。したがって、同じ色を使えるのは向かい合う $2$ 面に限られる。

$6$ 色を使う場合は全て異なるので単純に $6!$ を回転数 $24$ で割れる。$5$ 色の場合は、重複する色を固定すると、残り $4$ 色を側面の正方形に並べる問題になる。$4$ 色の場合は、色の出現回数が $2,2,1,1$ に限られるため、繰り返される $2$ 色の選び方だけが本質的な違いになる。