数学A 場合の数(塗り分け問題) 問題 3 解説

方針・初手

赤で塗られた頂点全体を集合 $R$ とする。各面が単色にならないとは、どの面も

• 赤だけの面にならない
• 白だけの面にならない

ということである。

頂点は $A,B,C,D,E,F,G,H$ として区別して数える。つまり、立方体を回転して一致する塗り方も、頂点名が異なれば別の塗り方として数える。

解法1

立方体には面が $6$ 個あり、各面には頂点が $4$ 個ある。また、1つの頂点はちょうど $3$ 個の面に属する。

赤が2個の場合

赤の頂点が2個のとき、赤だけの面は存在しない。したがって条件は、白だけの面が存在しないことである。

つまり、赤の2頂点が立方体の $6$ 個の面すべてに少なくとも1つずつ含まれていればよい。

1つの頂点は $3$ 個の面に属するので、2つの赤頂点がすべての $6$ 面を覆うには、それらが共通の面をもたない必要がある。これは2頂点が立方体の対角線の両端である場合に限る。

立方体の対角線は $4$ 本あるから、赤が2個の塗り方は

$$ 4 $$

通りである。

赤が3個の場合

赤の頂点が3個のときも、赤だけの面は存在しない。したがって、白だけの面が存在しないように数えればよい。

全体では、赤にする3頂点の選び方は

$$ {}_8C_3=56 $$

通りである。

白だけの面が存在するとは、赤の3頂点が、ある1つの面の反対側の面の4頂点の中にすべて含まれることである。これは、赤の3頂点がある1つの面上にすべてあることと同じである。

1つの面の4頂点から3頂点を選ぶ方法は

$$ {}_4C_3=4 $$

通りであり、面は $6$ 個ある。また、異なる2つの面の共通部分は高々1辺、すなわち2頂点なので、同じ3頂点が2つの面に同時に含まれることはない。

したがって、条件を満たさない選び方は

$$ 6\cdot {}_4C_3=6\cdot 4=24 $$

通りである。

よって、条件を満たす塗り方は

$$ 56-24=32 $$

通りである。

赤が4個の場合

赤の頂点が4個のとき、条件を満たさないのは、赤の4頂点がちょうど1つの面の4頂点になる場合である。

このとき、その面は赤だけになり、反対側の面は白だけになる。

逆に、赤の4頂点が1つの面になっていなければ、赤だけの面は存在しない。また、白の4頂点が1つの面になることも、赤の4頂点がその反対側の面になることと同じなので、やはり起こらない。

赤にする4頂点の選び方は

$$ {}_8C_4=70 $$

通りである。

そのうち、赤の4頂点が1つの面になる選び方は、面の個数と同じく

$$ 6 $$

通りである。

したがって、条件を満たす塗り方は

$$ 70-6=64 $$

通りである。

すべての塗り方

赤が $0$ 個または $1$ 個のときは、白だけの面が必ず存在するので条件を満たさない。

赤が $2,3,4$ 個の場合は、上で求めた通りである。

また、赤と白を入れ替えても条件は変わらないので、赤が $5,6,7,8$ 個の場合は、それぞれ赤が $3,2,1,0$ 個の場合と同じ数になる。

したがって、条件を満たす塗り方の総数は

$$ 0+0+4+32+64+32+4+0+0=136 $$

通りである。

解説

この問題では、各面を直接調べるよりも、赤の頂点集合 $R$ が「どの面にも触れているか」「1つの面全体になっていないか」を考えると整理しやすい。

赤が2個、3個のときは赤だけの面は作れないので、白だけの面を防ぐことだけを考えればよい。赤が4個のときは、赤の4頂点がちょうど1つの面になる場合だけが条件違反である。

特に赤が3個の場合、条件違反を「赤3点が同一面上にある」と言い換えるのが重要である。

答え

(1)

$$ 4 $$

通り。

(2)

$$ 32 $$

通り。

(3)

$$ 64 $$

通り。

(4)

$$ 136 $$

通り。