数学A 場合の数(塗り分け問題) 問題 5 解説

方針・初手

さいころの目が判別できるので、回転して一致する塗り方を同一視しない。したがって、6つの面はすべて区別された面として数える。

立方体には、向かい合う面の組が3組ある。また、2面の組は全部で ${}_6C_2=15$ 組あり、そのうち向かい合う組が3組なので、隣り合う組は $15-3=12$ 組である。

解法1

(1)

赤に塗る2面を6面から選び、その後、黒に塗る2面を残り4面から選べばよい。残り2面は自動的に白になる。

よって、求める数は

$$ {}_6C_2 \cdot {}_4C_2=15\cdot 6=90 $$

である。

(2)

赤い2面が向かい合うようにする。向かい合う面の組は3組あるので、赤い面の選び方は3通りである。

その後、残り4面から黒に塗る2面を選べばよい。白は自動的に決まる。

したがって、

$$ 3\cdot {}_4C_2=3\cdot 6=18 $$

である。

(3)

赤い2面が隣り合うようにする。6面から2面を選ぶ組は ${}_6C_2=15$ 通りあり、そのうち向かい合う組が3通りである。

よって、赤い面が隣り合う選び方は

$$ 15-3=12 $$

通りである。

その後、残り4面から黒に塗る2面を選べばよいので、

$$ 12\cdot {}_4C_2=12\cdot 6=72 $$

である。

(4)

同じ色の2面がすべて隣り合うようにする。つまり、赤・黒・白のどの色についても、2面が向かい合っていてはいけない。

まず赤い2面を隣り合うように選ぶ。これは12通りである。

赤い2面を選んだあと、残り4面について考える。たとえば、赤として隣り合う2面を選ぶと、残り4面の中には「向かい合う1組」と「その補集合になる1組」が現れる。

黒い2面の選び方は残り4面から2面を選ぶので ${}_4C_2=6$ 通りある。このうち、黒い2面が向かい合う選び方は1通りである。また、黒い2面を残り4面のうちの特定の隣り合う2面にすると、残った白い2面が向かい合ってしまう場合が1通りある。

したがって、黒と白の両方が隣り合うような黒い面の選び方は

$$ 6-2=4 $$

通りである。

よって、求める数は

$$ 12\cdot 4=48 $$

である。

(5)

同じ色の2面がすべて向かい合うようにする。つまり、赤・黒・白の各色が、立方体の3組の向かい合う面にそれぞれ対応すればよい。

向かい合う面の組は3組ある。この3組に赤・黒・白を割り当てればよいので、

$$ 3!=6 $$

である。

解説

この問題では「さいころの目は判別できる」とあるため、立方体の回転によって同じに見える塗り方も、さいころの目の位置が異なれば別の塗り方として数える。したがって、基本的には6つの面を区別して組合せで数えればよい。

重要なのは、立方体の面の関係として、向かい合う面の組が3組、隣り合う面の組が12組あることである。特に （4） では、赤を隣り合うように選んだあと、黒だけでなく白も隣り合う必要があるため、黒の選び方から2通りを除く点に注意する。

答え

(1)

$90$ 通り

(2)

$18$ 通り

(3)

$72$ 通り

(4)

$48$ 通り

(5)

$6$ 通り