数学A 場合の数(塗り分け問題) 問題 6 解説

方針・初手

正八面体の基本量と回転対称性を使う。正八面体は頂点が $6$ 個，面が $8$ 個である。また，正八面体の回転対称性は $24$ 通りある。

面の塗り分けについては，正八面体の面を立方体の頂点に対応させて考えると分類しやすい。正八面体と立方体は双対であるため，正八面体の $8$ 個の面は立方体の $8$ 個の頂点に対応する。

解法1

正八面体の頂点は，上下に $2$ 個，その間に正方形状に並ぶ $4$ 個の合計であるから，

$$ 2+4=6 $$

よって，③は

$$ 6 $$

である。

次に，頂点に $1,2,\dots,6$ の番号を付ける場合を考える。まず，番号を区別して普通に付けるなら

$$ 6! $$

通りである。

ただし，回転して重なるものは同じとする。正八面体の回転は，ある頂点をどこへ移すかで $6$ 通り，その頂点と反対側の頂点を結ぶ軸のまわりに $4$ 通り回せるので，

$$ 6\cdot 4=24 $$

通りある。

番号がすべて異なるため，回転によって自分自身に戻る番号付けは恒等回転以外では起こらない。したがって，求める数は

$$ \begin{aligned} \frac{6!}{24} &= \frac{720}{24} \\ 30 \end{aligned} $$

である。よって，④は

$$ 30 $$

である。

次に，$2$ つの面を赤に塗る場合を考える。正八面体の面は立方体の頂点に対応するので，立方体の $8$ 個の頂点から $2$ 個を選ぶ場合を，回転で同じものを同一視して数えればよい。

立方体の $2$ 頂点の位置関係は，回転を除くと次の $3$ 種類である。

（i） 互いに辺で結ばれている

（ii） 同じ面上の対角線の両端である

（iii） 空間対角線の両端である

これらは回転によって互いに移り合わない。また，同じ種類のものどうしは回転で重ねられる。したがって，$2$ 面を赤に塗る方法は

$$ 3 $$

通りである。よって，⑤は

$$ 3 $$

である。

最後に，$3$ つの面を赤に塗る場合を考える。同様に，立方体の $8$ 個の頂点から $3$ 個を選ぶ場合を分類する。

立方体の $3$ 頂点の位置関係は，回転を除くと次の $3$ 種類である。

（i） 立方体の同じ面上にあり，その面の $4$ 頂点のうち $3$ 頂点を選ぶ場合

このとき，選んだ $3$ 頂点の間の距離関係は「辺，辺，面の対角線」である。

（ii） 選んだ $3$ 頂点のうち，ある $2$ 頂点が空間対角線の両端になる場合

このとき，残りの $1$ 頂点との関係を含めると，距離関係は「辺，面の対角線，空間対角線」である。

（iii） どの $2$ 頂点も辺で結ばれず，$3$ 頂点が互いに面の対角線の関係になる場合

これは，立方体に内接する正四面体の $4$ 頂点のうち $3$ 頂点を選ぶ形である。

以上の $3$ 種類は，頂点間の距離関係が異なるため，回転で互いに重ならない。また，同じ種類のものどうしは立方体の回転で重ねられる。

したがって，$3$ 面を赤に塗る方法は

$$ 3 $$

通りである。よって，⑥は

$$ 3 $$

である。

解説

この問題では，正八面体そのものを直接動かして考えるより，双対である立方体を使うと見通しがよい。正八面体の面の塗り分けは，立方体の頂点の選び方に置き換えられる。

特に，$2$ 面や $3$ 面を選ぶ問題では，単に組合せの数を数えるのではなく，回転で同じになるものをまとめる必要がある。そのため，選んだ頂点どうしの距離関係で分類するのが有効である。

答え

③

$$ 6 $$

④

$$ 30 $$

⑤

$$ 3 $$

⑥

$$ 3 $$