数学A 場合の数(塗り分け問題) 問題 7 解説

方針・初手

長方形は動かさないので，$6$ 個の小長方形は区別される。したがって，全体の色の付け方は各小長方形に対して $3$ 通りずつ選ぶ問題である。

また，「同じ色の付いた小長方形が辺を共有していない」は，隣り合う小長方形どうしが同じ色でないという条件として数える。

解法1

まず，$6$ 個の小長方形はそれぞれ青，黄，赤の $3$ 色のいずれかで塗ることができる。各小長方形は区別されるので，色の付け方は

$$ 3^6=729 $$

通りである。よって

$$ \text{ハヒフ}=729 $$

である。

次に，青，黄，赤がそれぞれ $2$ 個ずつになる場合を数える。

まず $6$ 個の小長方形のうち，青にする $2$ 個を選ぶ方法は

$$ {}_6C_2 $$

通りである。残り $4$ 個のうち，黄にする $2$ 個を選ぶ方法は

$$ {}_4C_2 $$

通りであり，残り $2$ 個は赤に決まる。

したがって

$$ {}_6C_2{}_4C_2=15\cdot 6=90 $$

通りである。よって

$$ \text{ヘホ}=90 $$

である。

最後に，同じ色の付いた小長方形が辺を共有しない場合を数える。小長方形を横に $3$ 列，縦に $2$ 段並んでいると見る。各列は上下 $2$ 個の小長方形からなる。

まず第 $1$ 列について考える。上下の $2$ 個は辺を共有しているので，異なる色でなければならない。上の色は $3$ 通り，下の色はそれと異なる $2$ 通りであるから，第 $1$ 列の塗り方は

$$ 3\cdot 2=6 $$

通りである。

次に，ある列の上下の色が $(a,b)$ であり，$a\ne b$ とする。次の列の上下の色を $(c,d)$ とする。

条件より，横に隣り合う上段どうし，下段どうしが同じ色になってはいけないので

$$ c\ne a,\qquad d\ne b $$

である。また，同じ列の上下も辺を共有しているので

$$ c\ne d $$

である。

色は $3$ 色なので，$a,b$ 以外の色を $e$ とする。このとき，$c$ は $a$ 以外だから $b,e$ の $2$ 通り，$d$ は $b$ 以外だから $a,e$ の $2$ 通りである。

候補は

$$ (b,a),\ (b,e),\ (e,a),\ (e,e) $$

であるが，$(e,e)$ は上下が同じ色になるので不可である。したがって，次の列の塗り方は常に $3$ 通りである。

列は全部で $3$ 列あるから，第 $2$ 列，第 $3$ 列についてそれぞれ $3$ 通りずつ選べる。よって求める色の付け方は

$$ 6\cdot 3\cdot 3=54 $$

通りである。したがって

$$ \text{マミ}=54 $$

である。

解説

この問題では，長方形を動かさないため，回転や反転で一致するものを同一視しない。したがって，最初の総数は単純に $3^6$ で数える。

「各色が $2$ 個ずつ」は，$6$ 個の区別された場所に青，黄，赤を $2$ 個ずつ配置する重複順列であり，

$$ \frac{6!}{2!2!2!}=90 $$

としてもよい。

一方，「同じ色が辺を共有しない」は，隣接するマスが同色でないという条件である。$2$ 段 $3$ 列の形なので，列ごとに上下の色の組を考えると処理しやすい。第 $1$ 列が $6$ 通り，次の列への移り方が常に $3$ 通りであることがポイントである。

答え

$$ \text{ハヒフ}=729 $$

$$ \text{ヘホ}=90 $$

$$ \text{マミ}=54 $$