数学A 場合の数(重複組合せ) 問題 2 解説

方針・初手

さいころの目は $1,2,3,4,5,6$ の $6$ 種類である。

$a_1<a_2<a_3<a_4$ では、出た $4$ 個の目を小さい順に並べるしかないので、$6$ 個から $4$ 個を選ぶ問題になる。

$a_1\leq a_2<a_3\leq a_4$ では、真ん中の境目 $a_2<a_3$ に注目し、$a_2=x,\ a_3=y$ とおいて数える。

解法1

まず、$a_1<a_2<a_3<a_4$ の場合を考える。

$4$ 回の目がすべて異なり、しかも小さい順に出る必要がある。したがって、$1,2,3,4,5,6$ から異なる $4$ 個を選べば、その並び方はただ $1$ 通りに決まる。

よって、その個数は

$$ {}_6\mathrm{C}_{4}=15 $$

である。

次に、$a_1\leq a_2<a_3\leq a_4$ の場合を考える。

$a_2=x,\ a_3=y$ とおくと、条件は

$$ 1\leq a_1\leq x<y\leq a_4\leq 6 $$

となる。

このとき、$x<y$ を満たす $x,y$ を固定すると、$a_1$ は

$$ 1,2,\dots,x $$

の $x$ 通り、$a_4$ は

$$ y,y+1,\dots,6 $$

の $7-y$ 通りある。

したがって、求める個数は

$$ \sum_{1\leq x<y\leq 6}x(7-y) $$

である。

これを $x$ ごとに計算する。

$x=1$ のとき、

$$ 1{(7-2)+(7-3)+(7-4)+(7-5)+(7-6)}=1(5+4+3+2+1)=15 $$

$x=2$ のとき、

$$ 2{(7-3)+(7-4)+(7-5)+(7-6)}=2(4+3+2+1)=20 $$

$x=3$ のとき、

$$ 3{(7-4)+(7-5)+(7-6)}=3(3+2+1)=18 $$

$x=4$ のとき、

$$ 4{(7-5)+(7-6)}=4(2+1)=12 $$

$x=5$ のとき、

$$ 5(7-6)=5 $$

よって、

$$ 15+20+18+12+5=70 $$

である。

解説

最初の条件 $a_1<a_2<a_3<a_4$ は、完全な狭義単調増加なので、「選んだ $4$ 個の目が自動的に小さい順に並ぶ」と見ればよい。

一方、$a_1\leq a_2<a_3\leq a_4$ は、両端では等号が許されるが、中央だけは必ず差がある。このため、重複組合せとして一気に処理しようとすると条件を見落としやすい。$a_2$ と $a_3$ を固定して、左端 $a_1$ と右端 $a_4$ の選び方を数えるのが安全である。

答え

$[\text{ア}] \ 15$

$[\text{イ}] \ 70$