数学A 場合の数(重複組合せ) 問題 3 解説

方針・初手

正の整数解の個数は、まず $x+y+z=10$ を満たす組全体を「仕切り」の考え方で数える。

その後、条件 $x=2y$ は直接代入して数え、条件 $x<y$ は $x$ と $y$ の対称性を使って数えると簡潔である。

解法1

まず、$x,y,z$ はすべて正の整数であるから、

$$ x+y+z=10 $$

を満たす組の総数は、$10$ 個のものを $3$ つの正の部分に分ける場合の数である。

したがって、

$$ {}*{9}C*{2}=36 $$

より、全体の組は $36$ 個である。

次に、$x=2y$ を満たす組を数える。

$x=2y$ を $x+y+z=10$ に代入すると、

$$ 2y+y+z=10 $$

すなわち、

$$ 3y+z=10 $$

である。

ここで $y,z$ は正の整数だから、$y$ に入る値を調べると、

$$ \begin{aligned} y=1 &\Rightarrow z=7,\\ y=2 &\Rightarrow z=4,\\ y=3 &\Rightarrow z=1 \end{aligned} $$

となる。$y=4$ 以上では $z$ が正でなくなるので不可である。

よって、$x=2y$ を満たす組は $3$ 個である。

最後に、$x<y$ を満たす組を数える。

全体 $36$ 個のうち、$x=y$ となる組を除けば、残りは $x<y$ と $x>y$ に対称に分かれる。

$x=y$ のとき、

$$ x+y+z=10 $$

より、

$$ 2x+z=10 $$

である。$x,z$ は正の整数なので、

$$ x=1,2,3,4 $$

が可能であり、それぞれ $z=8,6,4,2$ となる。

したがって、$x=y$ となる組は $4$ 個である。

よって、$x<y$ または $x>y$ となる組は、

$$ 36-4=32 $$

個である。これらは $x$ と $y$ を入れ替えることで一対一に対応するので、$x<y$ を満たす組の個数は、

$$ \frac{32}{2}=16 $$

である。

解説

この問題では、正の整数解であることに注意する必要がある。非負整数解として数えると、全体の個数が変わってしまう。

$x<y$ の条件は直接数えてもよいが、$x$ と $y$ の対称性を使うと処理が短い。ただし、その場合は $x=y$ の場合を必ず除く必要がある。

答え

$$ [キ]=36,\qquad [ク]=3,\qquad [ケ]=16 $$