数学A 場合の数(重複組合せ) 問題 4 解説

方針・初手

同じ数字が書かれた紙は区別しないので、実質的には $1,2,3$ をそれぞれ高々 $2$ 回まで使って、長さ $3$ の列を作る問題である。

まずは、取り出した $3$ 枚の数字の重複の仕方で場合分けする。

解法1

(1)

$3$ 枚を取り出したとき、同じ数字は最大でも $2$ 枚までしかない。したがって、$3$ 枚の数字の構成は次の $2$ 通りである。

(i)

$3$ 枚すべて異なる場合

このとき取り出す紙は $1,2,3$ の $3$ 枚である。横 $1$ 列に並べる方法は

$$ 3! = 6 $$

通りである。

(ii)

$2$ 枚が同じ数字で、残り $1$ 枚が別の数字である場合

同じ数字として選ぶ数は $1,2,3$ の $3$ 通り、残りの別の数字は残った $2$ 通りから選ぶので、数字の選び方は

$$ 3 \times 2 = 6 $$

通りである。

例えば構成が $1,1,2$ のとき、同じ $1$ の紙は区別しないので、並べ方は

$$ \frac{3!}{2!}=3 $$

通りである。

よって、この場合の並べ方は

$$ 6 \times 3 = 18 $$

通りである。

以上より、求める並べ方は

$$ 6+18=24 $$

通りである。

(2)

条件は、左から右へ見たときに、隣り合うどの $2$ 枚についても右の数が左の数以上であるということである。したがって、並びは

$$ a_1 \leqq a_2 \leqq a_3 $$

を満たす列である。

つまり、取り出した $3$ 枚の数字が決まれば、小さい順に並べる方法はただ $1$ 通りである。

したがって、(2)では「取り出す $3$ 枚の数字の構成」が何通りあるかを数えればよい。

(i)

$3$ 枚すべて異なる場合

この場合は $1,2,3$ を $1$ 枚ずつ取り出すしかない。条件を満たす並びは

$$ 1,2,3 $$

の $1$ 通りである。

(ii)

$2$ 枚が同じ数字で、残り $1$ 枚が別の数字である場合

同じ数字を選ぶ方法が $3$ 通り、残りの別の数字を選ぶ方法が $2$ 通りなので、数字の構成は

$$ 3 \times 2 = 6 $$

通りである。

それぞれの構成について、小さい順に並べれば条件を満たす並びはただ $1$ 通りである。

よって、この場合は $6$ 通りである。

以上より、求める並べ方は

$$ 1+6=7 $$

通りである。

解法2

(1)は、長さ $3$ の列を $1,2,3$ から作ると考えて数えることもできる。

制限を無視すれば、各位置に $1,2,3$ のいずれかを入れられるので

$$ 3^3=27 $$

通りである。

ただし、同じ数が書かれた紙はそれぞれ $2$ 枚ずつしかないので、

$$ 111,\quad 222,\quad 333 $$

の $3$ 通りは不可能である。

したがって、(1)の答えは

$$ 27-3=24 $$

通りである。

(2)は、条件より列が小さい順に並んでいる必要がある。したがって、数えるべきものは

$$ 1 \leqq a_1 \leqq a_2 \leqq a_3 \leqq 3 $$

を満たす列のうち、同じ数字が $3$ 回出ないものである。

重複を許して $1,2,3$ から $3$ 個選ぶ方法は、重複組合せより

$$ {}*3H_3 = {}*{3+3-1}C_3 = {}_5C_3 = 10 $$

通りである。

このうち、

$$ 111,\quad 222,\quad 333 $$

の $3$ 通りは使えない。

よって、条件を満たす並べ方は

$$ 10-3=7 $$

通りである。

解説

この問題では、「紙を区別しない」という条件を、同じ数字の重複を考慮する問題として処理することが重要である。

(1)では、単純に $6P3$ のように数えてはいけない。同じ数字が書かれた紙は区別しないため、列として同じものは $1$ 通りにまとめる必要がある。

(2)では、「右の紙の数の方が小さくない」とは、左から右へ数が減少しないことを意味する。したがって、条件を満たす並びは小さい順に並んだものだけであり、各数字の構成につき $1$ 通りだけになる。

答え

(1)

$$ 24 $$

通り

(2)

$$ 7 $$

通り