数学A 約数の個数 問題 1 解説

方針・初手

正の約数の個数と約数の総和は、素因数分解してから公式を用いる。まず $720$ を素因数分解する。

解法1

$720$ を素因数分解すると、

$$ 720=72\cdot 10=2^3\cdot 3^2\cdot 2\cdot 5=2^4\cdot 3^2\cdot 5 $$

である。

一般に、

$$ N=p^a q^b r^c $$

の正の約数の個数は、

$$ (a+1)(b+1)(c+1) $$

である。

したがって、$720=2^4\cdot 3^2\cdot 5^1$ より、正の約数の個数は

$$ (4+1)(2+1)(1+1)=5\cdot 3\cdot 2=30 $$

である。

次に、正の約数の総和を求める。$720$ の正の約数は、$2^i3^j5^k$ の形で表される。ただし、

$$ 0\leqq i\leqq 4,\quad 0\leqq j\leqq 2,\quad 0\leqq k\leqq 1 $$

である。

よって、正の約数の総和は

$$ (1+2+2^2+2^3+2^4)(1+3+3^2)(1+5) $$

となる。

これを計算すると、

$$ (1+2+4+8+16)(1+3+9)(1+5)=31\cdot 13\cdot 6 $$

であるから、

$$ 31\cdot 13\cdot 6=403\cdot 6=2418 $$

となる。

解説

約数の個数は、素因数分解における各素因数の指数に $1$ を加えて掛け合わせればよい。

また、約数の総和は、各素因数について取り得る累乗をすべて足し、それらを掛け合わせる。約数を直接列挙すると数が多くなりやすいため、素因数分解から処理するのが基本である。

答え

$$ \text{[ア]}=30,\qquad \text{[イ]}=2418 $$