数学A 約数の個数 問題 2 解説

方針・初手

正の約数の個数と総和は、素因数分解から求める。まず $2100$ を素因数分解し、各素因数の指数に注目する。

解法1

$2100$ を素因数分解すると、

$$ 2100=21\cdot 100=3\cdot 7\cdot 2^2\cdot 5^2 $$

より、

$$ 2100=2^2\cdot 3^1\cdot 5^2\cdot 7^1 $$

である。

正の約数は、

$$ 2^a3^b5^c7^d $$

の形に一意に表される。ただし指数はそれぞれ

$$ a=0,1,2,\quad b=0,1,\quad c=0,1,2,\quad d=0,1 $$

をとる。

したがって、正の約数の個数は

$$ (2+1)(1+1)(2+1)(1+1)=3\cdot 2\cdot 3\cdot 2=36 $$

である。

次に、正の約数の総和を求める。約数全体の和は、各素因数について取り得る累乗の和を掛け合わせればよい。

すなわち、

$$ (1+2+2^2)(1+3)(1+5+5^2)(1+7) $$

を計算する。

$$ (1+2+4)(1+3)(1+5+25)(1+7) =7\cdot 4\cdot 31\cdot 8 $$

よって、

$$ 7\cdot 4\cdot 31\cdot 8 =28\cdot 248 =6944 $$

である。

解説

正の約数の個数は、素因数分解したときの指数の選び方で決まる。たとえば $2^2$ なら、約数に含まれる $2$ の指数は $0,1,2$ の $3$ 通りである。

また、約数の総和は、約数をすべて列挙せずに

$$ (1+p+p^2+\cdots+p^k) $$

という形の積で求めるのが基本である。今回は

$$ 2100=2^2\cdot 3^1\cdot 5^2\cdot 7^1 $$

なので、それぞれの素因数について指数を独立に選べることが重要である。

答え

正の約数の個数は

$$ 36 $$

である。

正の約数の総和は

$$ 6944 $$

である。