数学A 約数の個数 問題 6 解説

方針・初手

$720$ を素因数分解し、正の約数を

$$ 2^x3^y5^z $$

の形で表す。各指数の取り方を数えれば、約数の個数・総和・互いに素な組の個数を統一的に処理できる。

解法1

まず $720$ を素因数分解する。

$$ 720=72\cdot 10=2^3\cdot 3^2\cdot 2\cdot 5=2^4\cdot 3^2\cdot 5 $$

したがって、

$$ 720=2^4\cdot 3^2\cdot 5 $$

である。

$720$ の正の約数は

$$ 2^x3^y5^z $$

と表される。ただし、指数はそれぞれ

$$ 0\leqq x\leqq 4,\quad 0\leqq y\leqq 2,\quad 0\leqq z\leqq 1 $$

を満たす整数である。

よって、指数 $x,y,z$ の取り方はそれぞれ $5$ 通り、$3$ 通り、$2$ 通りなので、正の約数の個数は

$$ 5\cdot 3\cdot 2=30 $$

である。

次に、正の約数の総和を求める。約数は $2^x3^y5^z$ の形なので、総和は

$$ (1+2+2^2+2^3+2^4)(1+3+3^2)(1+5) $$

で求められる。計算すると、

$$ (1+2+4+8+16)(1+3+9)(1+5)=31\cdot 13\cdot 6=2418 $$

である。

最後に、正の約数の組 $(a,b)$ のうち、$a$ と $b$ が互いに素で、$a<b$ となるものを数える。

$a,b$ はともに $720$ の正の約数なので、

$$ a=2^{x_1}3^{y_1}5^{z_1},\quad b=2^{x_2}3^{y_2}5^{z_2} $$

と表せる。

$a$ と $b$ が互いに素であるためには、各素因数 $2,3,5$ について、$a$ と $b$ の両方に同時に含まれてはいけない。

まず順序を区別して $(a,b)$ を数える。

素因数 $2$ については、指数は $0,1,2,3,4$ の $5$ 通りである。$a,b$ の両方に $2$ が含まれないようにするには、

• $a$ 側に $2$ が含まれ、$b$ 側には含まれない場合：$4$ 通り
• $b$ 側に $2$ が含まれ、$a$ 側には含まれない場合：$4$ 通り
• どちらにも $2$ が含まれない場合：$1$ 通り

で、合計

$$ 4+4+1=9 $$

通りである。

同様に、素因数 $3$ については指数が $0,1,2$ なので、

$$ 2+2+1=5 $$

通りである。

素因数 $5$ については指数が $0,1$ なので、

$$ 1+1+1=3 $$

通りである。

したがって、順序を区別した互いに素な組 $(a,b)$ の個数は

$$ 9\cdot 5\cdot 3=135 $$

である。

この中で $a=b$ となるものを考える。互いに素であり、かつ $a=b$ であるならば

$$ \gcd(a,a)=a=1 $$

でなければならない。したがって、$a=b$ となるのは $(1,1)$ の $1$ 組だけである。

よって、$a\ne b$ となる順序つきの組は

$$ 135-1=134 $$

組である。

条件 $a<b$ は、$a\ne b$ の順序つきの組をちょうど半分にしたものなので、

$$ \frac{134}{2}=67 $$

である。

解説

素因数分解

$$ 720=2^4\cdot 3^2\cdot 5 $$

を出せば、前半の約数の個数と総和は標準公式で処理できる。

互いに素な組の個数では、「同じ素因数が $a,b$ の両方に入ってはいけない」という条件を指数で数えるのが要点である。順序つきで数えてから、$(1,1)$ だけを除いて半分にすることで、$a<b$ の条件に対応できる。

答え

(1)

$$ 720=2^4\cdot 3^2\cdot 5 $$

(2)

$$ 30 $$

(3)

$$ 2418 $$

(4)

$$ 67 $$