数学A 約数の個数 問題 5 解説

方針・初手

$864$ を素因数分解し、正の約数を $2^a3^b$ の形で表す。

$12$ の倍数である条件、$18$ の倍数である条件をそれぞれ指数 $a,b$ の条件に直し、重複を含まないように和集合として数える。総和も同じく包除原理で求める。

解法1

まず

$$ 864=2^5\cdot 3^3 $$

であるから、$864$ の正の約数はすべて

$$ 2^a3^b\qquad (0\leqq a\leqq 5,\ 0\leqq b\leqq 3) $$

と表される。

$12=2^2\cdot 3$ であるから、$12$ の倍数である約数は

$$ a\geqq 2,\quad b\geqq 1 $$

を満たすものとなる。したがって個数は

$$ (5-2+1)(3-1+1)=4\cdot 3=12 $$

である。

また、$18=2\cdot 3^2$ であるから、$18$ の倍数である約数は

$$ a\geqq 1,\quad b\geqq 2 $$

を満たすものとなる。したがって個数は

$$ (5-1+1)(3-2+1)=5\cdot 2=10 $$

である。

ただし、$12$ の倍数かつ $18$ の倍数であるものを二重に数えている。これは $12$ と $18$ の最小公倍数

$$ \mathrm{lcm}(12,18)=36=2^2\cdot 3^2 $$

の倍数である約数であり、条件は

$$ a\geqq 2,\quad b\geqq 2 $$

である。よって個数は

$$ (5-2+1)(3-2+1)=4\cdot 2=8 $$

である。

したがって、求める個数は包除原理より

$$ 12+10-8=14 $$

である。

次に、それらの総和を求める。

$12$ の倍数である約数の総和は

$$ (2^2+2^3+2^4+2^5)(3^1+3^2+3^3) $$

であるから、

$$ (4+8+16+32)(3+9+27)=60\cdot 39=2340 $$

である。

$18$ の倍数である約数の総和は

$$ (2^1+2^2+2^3+2^4+2^5)(3^2+3^3) $$

であるから、

$$ (2+4+8+16+32)(9+27)=62\cdot 36=2232 $$

である。

また、両方に含まれる $36$ の倍数である約数の総和は

$$ (2^2+2^3+2^4+2^5)(3^2+3^3) $$

であるから、

$$ (4+8+16+32)(9+27)=60\cdot 36=2160 $$

である。

したがって、求める総和は

$$ 2340+2232-2160=2412 $$

である。

解説

この問題では、「$12$ の倍数または $18$ の倍数」という条件をそのまま列挙しようとすると重複が生じる。したがって、$864=2^5\cdot 3^3$ と素因数分解して、約数を $2^a3^b$ の形で管理するのが基本である。

「または」があるため、個数も総和も包除原理を使う。特に、$12$ の倍数かつ $18$ の倍数は $\mathrm{lcm}(12,18)=36$ の倍数である点を押さえれば、重複を正しく処理できる。

答え

個数は

$$ 14 $$

である。

それらの総和は

$$ 2412 $$

である。