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数学A 条件付き確率問題 4 解説

方針・初手

$n$ 枚の 100 円玉と、500 円玉のうち $n$ 枚を対応させて考える。

まず $n$ 枚ずつを比べ、その表の枚数の差を調べる。残りの 500 円玉 1 枚が、差が等しい場合だけ勝敗を決めることに着目する。

解法1

$n$ 枚の 100 円玉の表の枚数を $X$、500 円玉のうち最初の $n$ 枚の表の枚数を $Y$ とする。また、残りの 500 円玉 1 枚が表なら $Z=1$、裏なら $Z=0$ とする。

求める確率は

$$ P(Y+Z>X) $$

である。

ここで、$X$ と $Y$ はどちらも $n$ 枚の硬貨を投げたときの表の枚数であるから、差 $Y-X$ について

$$ P(Y-X>0)=P(Y-X<0) $$

が成り立つ。これは、100 円玉側と 500 円玉側を入れ替える対応により、$Y>X$ の場合と $Y<X$ の場合が一対一に対応するためである。

いま

$$ p=P(Y-X=0) $$

とおくと、

$$ P(Y-X>0)=P(Y-X<0)=\frac{1-p}{2} $$

である。

求める事象 $Y+Z>X$ を、$Y-X$ の値で分ける。

(i)

$Y-X>0$ のとき

このときは $Z$ に関係なく

$$ Y+Z>X $$

が成り立つ。

(ii)

$Y-X=0$ のとき

このときは

$$ Y+Z>X $$

となるためには $Z=1$、すなわち残りの 500 円玉が表であることが必要十分である。その確率は $\frac{1}{2}$ である。

(iii)

$Y-X<0$ のとき

$Y-X\leq -1$ であり、$Z$ は最大でも $1$ なので、$Y+Z>X$ が成り立つ可能性があるのは $Y-X=-1,\ Z=1$ の場合であるように見える。しかし、ここで $Y$ は「500 円玉のうち最初の $n$ 枚」の表の枚数であり、残り 1 枚を別扱いしているため、この場合を個別に数えると複雑になる。

そこで、より直接には

$$ Y+Z>X $$

を $Z$ で分ける。

$Z=0$ のときは $Y>X$ が必要である。したがって確率は

$$ \frac{1}{2}P(Y>X) $$

である。

$Z=1$ のときは $Y+1>X$、つまり $Y\geq X$ が必要である。したがって確率は

$$ \frac{1}{2}P(Y\geq X) $$

である。

よって求める確率は

$$ \frac{1}{2}P(Y>X)+\frac{1}{2}P(Y\geq X) $$

である。

ここで

$$ P(Y\geq X)=P(Y>X)+P(Y=X) $$

であり、また対称性から

$$ P(Y>X)=\frac{1-P(Y=X)}{2} $$

である。

したがって

$$ \begin{aligned} \frac{1}{2}P(Y>X)+\frac{1}{2}P(Y\geq X) &=\frac{1}{2}P(Y>X)+\frac{1}{2}{P(Y>X)+P(Y=X)}\\ &=P(Y>X)+\frac{1}{2}P(Y=X)\\ &=\frac{1-P(Y=X)}{2}+\frac{1}{2}P(Y=X)\\ &=\frac{1}{2}. \end{aligned} $$

よって、求める確率は

$$ \frac{1}{2} $$

である。