数学A 確率 問題 8 解説

方針・初手

A が $n$ 回投げて勝つには、A の $n$ 回目の投球までに、A と B がともに $n-1$ 回ずつ外し、最後に A が当てればよい。

B が $n$ 回投げて勝つには、A と B がともに $n-1$ 回ずつ外したあと、A が $n$ 回目を外し、B が $n$ 回目を当てればよい。

したがって、1巡で両者がともに外す確率を共通比として使う。

解法1

A が的に命中させる確率を

$$ \frac{a}{a+2} $$

B が的に命中させる確率を

$$ \frac{a}{a+1} $$

とする。

したがって、それぞれが外す確率は

$$ 1-\frac{a}{a+2}=\frac{2}{a+2},\qquad 1-\frac{a}{a+1}=\frac{1}{a+1} $$

である。

1巡で A も B も外す確率は

$$ \begin{aligned} \frac{2}{a+2}\cdot \frac{1}{a+1} &= \frac{2}{(a+1)(a+2)} \end{aligned} $$

である。

A が $n$ 回投げて勝つ確率

A がちょうど $n$ 回目の投球で勝つには、最初の $n-1$ 巡で両者が外し、その後 A が命中させればよい。

よって

$$ p_n= \left\{\frac{2}{(a+1)(a+2)}\right\}^{n-1} \cdot \frac{a}{a+2} $$

である。

B が $n$ 回投げて勝つ確率

B がちょうど $n$ 回目の投球で勝つには、最初の $n-1$ 巡で両者が外し、その後 A が外し、B が命中させればよい。

よって

$$ q_n= \left\{\frac{2}{(a+1)(a+2)}\right\}^{n-1} \cdot \frac{2}{a+2} \cdot \frac{a}{a+1} $$

である。

以上より、(1) の答えは

$$ p_n= \frac{a}{a+2} \left\{\frac{2}{(a+1)(a+2)}\right\}^{n-1} $$

$$ q_n= \frac{2a}{(a+1)(a+2)} \left\{\frac{2}{(a+1)(a+2)}\right\}^{n-1} $$

である。

次に (2) を考える。

$a>0$ より

$$ (a+1)(a+2)>2 $$

であるから、

$$ 0<\frac{2}{(a+1)(a+2)}<1 $$

である。

したがって、$\sum_{n=1}^{\infty}p_n$ と $\sum_{n=1}^{\infty}q_n$ はいずれも等比級数として計算できる。

共通比を

$$ r=\frac{2}{(a+1)(a+2)} $$

とおくと、

$$ \begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty}p_n &= \frac{a}{a+2}\sum_{n=1}^{\infty}r^{n-1} \\ \frac{a}{a+2}\cdot \frac{1}{1-r} \end{aligned} $$

である。

また、

$$ \begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty}q_n &= \frac{2a}{(a+1)(a+2)}\sum_{n=1}^{\infty}r^{n-1} \\ \frac{2a}{(a+1)(a+2)}\cdot \frac{1}{1-r} \end{aligned} $$

である。

これらが等しい条件は

$$ \begin{aligned} \frac{a}{a+2}\cdot \frac{1}{1-r} &= \frac{2a}{(a+1)(a+2)}\cdot \frac{1}{1-r} \end{aligned} $$

である。

$a>0$ かつ $1-r\neq 0$ なので、両辺を整理して

$$ \begin{aligned} \frac{a}{a+2} &= \frac{2a}{(a+1)(a+2)} \end{aligned} $$

となる。

さらに $a>0$ より $a$ で割ることができるから、

$$ \begin{aligned} \frac{1}{a+2} &= \frac{2}{(a+1)(a+2)} \end{aligned} $$

である。

両辺に $(a+1)(a+2)$ をかけて

$$ a+1=2 $$

となるので、

$$ a=1 $$

である。

解説

この問題では、「A が勝つ場合」と「B が勝つ場合」で、最後の1回だけ状況が異なる。

A が勝つ場合は、直前まで両者が同じ回数だけ外し、その後 A が命中させる。一方で B が勝つ場合は、直前まで両者が同じ回数だけ外したあと、さらに A が外してから B が命中させる。

したがって、共通部分である「両者が1巡とも外す確率」を等比級数の共通比として取り出すのが自然である。

また、(2) では無限和を直接複雑に計算する必要はない。両者の無限和には同じ等比級数の和が現れるため、結局は最初に勝ちが決まる部分の確率

$$ \frac{a}{a+2} \quad\text{と}\quad \frac{2}{a+2}\cdot\frac{a}{a+1} $$

を比較する問題になる。

答え

(1)

$$ p_n= \frac{a}{a+2} \left\{\frac{2}{(a+1)(a+2)}\right\}^{n-1} $$

$$ q_n= \frac{2a}{(a+1)(a+2)} \left\{\frac{2}{(a+1)(a+2)}\right\}^{n-1} $$

(2)

$$ a=1 $$