数学A 確率 問題 9 解説

方針・初手

2つのさいころの出方は全部で $6 \times 6 = 36$ 通りであり、どれも同様に確からしい。

したがって、出る目の和が $6$ 以下になる組を数え上げ、その個数を $36$ で割ればよい。

解法1

2つのさいころの出る目をそれぞれ $a,b$ とする。ただし、

$$ 1 \leqq a \leqq 6,\qquad 1 \leqq b \leqq 6 $$

である。

求める条件は

$$ a+b \leqq 6 $$

である。

和ごとに出方を数える。和が $2,3,4,5,6$ の場合を考えればよい。

$$ \begin{array}{c|c} a+b & \text{出方の数} \\ \hline 2 & 1 \\ 3 & 2 \\ 4 & 3 \\ 5 & 4 \\ 6 & 5 \end{array} $$

よって、条件を満たす出方の数は

$$ 1+2+3+4+5=15 $$

である。

全事象は $36$ 通りなので、求める確率は

$$ \frac{15}{36}=\frac{5}{12} $$

である。

解法2

2つのさいころの出る目を順に $(a,b)$ と書く。

1つ目のさいころの目 $a$ ごとに、$a+b \leqq 6$ を満たす $b$ の個数を数える。

(i)

$a=1$ のとき

$$ b \leqq 5 $$

より、$b=1,2,3,4,5$ の $5$ 通り。

(ii)

$a=2$ のとき

$$ b \leqq 4 $$

より、$4$ 通り。

(iii)

$a=3$ のとき

$$ b \leqq 3 $$

より、$3$ 通り。

(iv)

$a=4$ のとき

$$ b \leqq 2 $$

より、$2$ 通り。

(v)

$a=5$ のとき

$$ b \leqq 1 $$

より、$1$ 通り。

(vi)

$a=6$ のとき

$$ b \leqq 0 $$

となり、該当する出方はない。

したがって、条件を満たす出方は

$$ 5+4+3+2+1=15 $$

通りである。

全体は $36$ 通りだから、求める確率は

$$ \frac{15}{36}=\frac{5}{12} $$

である。

解説

2つのさいころを区別して考えるため、全事象は $36$ 通りである。ここで「和が $6$ 以下」という条件は、和が $2$ から $6$ までの場合を数えればよい。

和が $n$ になる出方の数は、$n \leqq 7$ の範囲では $n-1$ 通りである。したがって、和が $2$ から $6$ までの出方の数は $1+2+3+4+5$ となる。

答え

$$ \frac{5}{12} $$