数学A 確率 問題 10 解説

方針・初手

取り出す $5$ 個の中に含まれる赤球の個数を考える。赤球が奇数個である場合は $1,3,5$ 個であるが、白球は $3$ 個しかないので、赤球が $1$ 個の場合は白球が $4$ 個必要となり不可能である。

したがって、赤球が $3$ 個または $5$ 個である場合を数える。

解法1

袋の中には赤球 $6$ 個、白球 $3$ 個、合計 $9$ 個がある。この中から $5$ 個を取り出す場合の総数は

$$ {}_{9}\mathrm{C}_{5} $$

である。

赤球が奇数個含まれる場合を数える。

（i） 赤球が $3$ 個の場合

赤球 $6$ 個から $3$ 個、白球 $3$ 個から $2$ 個を選べばよいので、その数は

$$ {}_{6}\mathrm{C}_{3}{}_{3}\mathrm{C}_{2} $$

である。

（ii） 赤球が $5$ 個の場合

赤球 $6$ 個から $5$ 個、白球 $3$ 個から $0$ 個を選べばよいので、その数は

$$ {}_{6}\mathrm{C}_{5}{}_{3}\mathrm{C}_{0} $$

である。

したがって、求める確率は

$$ \frac{{}_{6}\mathrm{C}_{3}{}_{3}\mathrm{C}_{2}+{}_{6}\mathrm{C}_{5}{}_{3}\mathrm{C}_{0}}{{}_{9}\mathrm{C}_{5}} $$

である。これを計算すると、

$$ {}_{6}\mathrm{C}_{3}=20,\quad {}_{3}\mathrm{C}_{2}=3,\quad {}_{6}\mathrm{C}_{5}=6,\quad {}_{3}\mathrm{C}_{0}=1 $$

より、分子は

$$ 20\cdot 3+6\cdot 1=66 $$

である。また、

$$ {}_{9}\mathrm{C}_{5}=126 $$

であるから、

$$ \frac{66}{126}=\frac{11}{21} $$

となる。

解説

赤球の個数が奇数であることに注目し、可能な赤球の個数を先に列挙するのが基本である。

ここで赤球が $1$ 個の場合を含めない点に注意する。$5$ 個取り出して赤球が $1$ 個なら白球は $4$ 個必要だが、白球は袋の中に $3$ 個しかないため、この場合は起こらない。

答え

$$ \boxed{\frac{11}{21}} $$