数学A 確率 問題 11 解説

方針・初手

総当たり戦では、1試合は2チームの組で一意に決まる。したがって試合数は組合せで数える。

また、引き分けがなく各チームの実力が同等であるから、各試合についてどちらが勝つかは確率 $\dfrac{1}{2}$ であり、全体の勝敗のつき方はすべて同様に確からしい。

解法1

まず、各チームは自分以外の $n-1$ チームと1回ずつ試合をするので、各チームの試合数は

$$ n-1 $$

である。

全体の試合数は、$n$ チームから対戦する2チームを選ぶ組合せの数に等しいから、

$$ {}_nC_2=\frac{n(n-1)}{2} $$

である。

次に、すべてのチームの勝ち点が互いに異なる確率を求める。

勝ち点は勝利数に等しいので、各チームの勝ち点は $0,1,\dots,n-1$ のいずれかである。チームは全部で $n$ チームあり、勝ち点がすべて互いに異なるなら、その勝ち点の集合は

$$ 0,1,2,\dots,n-1 $$

でなければならない。

このとき、勝ち点 $n-1$ のチームは全勝しているので、他のすべてのチームに勝っている。勝ち点 $n-2$ のチームは、全勝チームには負け、残りの $n-2$ チームにはすべて勝っている。以下同様に、勝ち点の大きいチームが勝ち点の小さいチームに必ず勝つ形になる。

したがって、すべてのチームの勝ち点が互いに異なる勝敗のつき方は、チームを強い順に一列に並べ、その順に上位のチームが下位のチームにすべて勝つ場合に限られる。

チームの並べ方は $n!$ 通りあるので、条件を満たす勝敗のつき方は

$$ n! $$

通りである。

一方、全体の試合数は $\dfrac{n(n-1)}{2}$ 試合であり、各試合の勝敗は2通りずつあるから、すべての勝敗のつき方は

$$ 2^{\frac{n(n-1)}{2}} $$

通りである。

よって、求める確率は

$$ \frac{n!}{2^{\frac{n(n-1)}{2}}} $$

である。

解説

この問題の要点は、勝ち点が勝利数そのものであり、各チームの勝ち点が $0$ から $n-1$ までの整数に限られることである。

$n$ チームの勝ち点がすべて異なるなら、取り得る $n$ 個の値 $0,1,\dots,n-1$ をちょうど1回ずつ取るしかない。そこから、勝ち点の高い順に並べると、上位のチームが下位のチームにすべて勝つ形だけが可能になる。

逆に、そのような順序を1つ決めれば、勝ち点は

$$ n-1,n-2,\dots,1,0 $$

となり、すべて互いに異なる。したがって、条件を満たす勝敗表はチームの順列と1対1に対応する。

答え

(1)

各チームの試合数は

$$ n-1 $$

全体の試合数は

$$ \frac{n(n-1)}{2} $$

(2)

求める確率は

$$ \frac{n!}{2^{\frac{n(n-1)}{2}}} $$