数学A 確率 問題 12 解説

方針・初手

各問題で正解を選ぶ確率は $\dfrac{1}{4}$、不正解を選ぶ確率は $\dfrac{3}{4}$ である。

10問のうち正解数を $X$ とすると、$X$ は二項分布

$$ X \sim B\left(10,\frac{1}{4}\right) $$

に従う。したがって

$$ P(X=k)={}_{10}\mathrm{C}_{k}\left(\frac{1}{4}\right)^k\left(\frac{3}{4}\right)^{10-k} $$

を用いればよい。

解法1

まず、$X=k$ となる確率は

$$ P(X=k)={}_{10}\mathrm{C}_{k}\left(\frac{1}{4}\right)^k\left(\frac{3}{4}\right)^{10-k} =\frac{{}_{10}\mathrm{C}_{k}3^{10-k}}{4^{10}} $$

である。

ここで

$$ 4^{10}=1048576 $$

である。

（1） ちょうど5問正解する確率

$$ P(X=5)=\frac{{}_{10}\mathrm{C}_{5}3^5}{4^{10}} $$

である。計算すると

$$ {}_{10}\mathrm{C}_{5}=252,\qquad 3^5=243 $$

より

$$ {}_{10}\mathrm{C}_{5}3^5=252\cdot 243=61236 $$

である。したがって

$$ P(X=5)=\frac{61236}{1048576} =\frac{15309}{262144} $$

となる。

よって

$$ \text{[ア]}=15309 $$

である。

（2） 正解数が偶数である確率

正解数が偶数であるから、$X=0,2,4,6,8,10$ の場合を足せばよい。

$$ P(X\text{ が偶数}) =\sum_{\substack{k=0\k\text{ 偶数}}}^{10} {}_{10}\mathrm{C}_{k}\left(\frac{1}{4}\right)^k \left(\frac{3}{4}\right)^{10-k} $$

偶数項の和の公式を用いると、成功確率を $p=\dfrac14$、失敗確率を $q=\dfrac34$ として

$$ P(X\text{ が偶数}) =\frac{(p+q)^{10}+(q-p)^{10}}{2} $$

である。ここで

$$ p+q=1,\qquad q-p=\frac34-\frac14=\frac12 $$

だから

$$ P(X\text{ が偶数}) =\frac{1+\left(\frac12\right)^{10}}{2} =\frac{1+\frac{1}{1024}}{2} =\frac{1025}{2048} $$

となる。

よって

$$ \text{[イ]}=1025 $$

である。

（3） 6問以上正解する確率

6問以上正解する確率は

$$ P(X\geqq 6)=P(X=6)+P(X=7)+P(X=8)+P(X=9)+P(X=10) $$

である。

$$ \begin{aligned} P(X\geqq 6) &= \frac{ {}_{10}\mathrm{C}_{6}3^4+ {}_{10}\mathrm{C}_{7}3^3+ {}_{10}\mathrm{C}_{8}3^2+ {}_{10}\mathrm{C}_{9}3^1+ {}_{10}\mathrm{C}_{10}3^0 }{4^{10}} \end{aligned} $$

各項を計算すると

$$ \begin{aligned} {}_{10}\mathrm{C}_{6}3^4&=210\cdot 81=17010,\\ {}_{10}\mathrm{C}_{7}3^3&=120\cdot 27=3240,\\ {}_{10}\mathrm{C}_{8}3^2&=45\cdot 9=405,\\ {}_{10}\mathrm{C}_{9}3&=10\cdot 3=30,\\ {}_{10}\mathrm{C}_{10}&=1 \end{aligned} $$

である。したがって分子は

$$ 17010+3240+405+30+1=20686 $$

となる。

よって

$$ P(X\geqq 6)=\frac{20686}{1048576} =\frac{10343}{524288} $$

である。

したがって

$$ \text{[ウ]}=10343 $$

である。

解説

この問題は、各問で正解確率が一定であり、各問題の選択が独立であるため、正解数を二項分布で扱うのが基本である。

（1） と （3） は、二項分布の確率

$$ P(X=k)={}_{n}\mathrm{C}_{k}p^k(1-p)^{n-k} $$

をそのまま用いればよい。

（2） は偶数個の確率をすべて足してもよいが、計算量が増える。偶数項の和として

$$ \frac{(p+q)^n+(q-p)^n}{2} $$

を使うと短く処理できる。

答え

(1)

$$ \text{[ア]}=15309 $$

(2)

$$ \text{[イ]}=1025 $$

(3)

$$ \text{[ウ]}=10343 $$