数学A 確率 問題 13 解説

方針・初手

各目の確率をそのまま扱うより、条件

$$ p_1=p_6,\quad p_2=p_5,\quad p_3=p_4 $$

を利用して、$p_1,p_2,p_3$ の3種類に整理する。

また、3回振ったときの和が指定された値になる確率は、出目の組を「順序つき」で数える必要がある。したがって、和が $6$ または $7$ になる出目の組を場合分けして、それぞれの並べ方の数を掛ける。

解法1

条件より

$$ p_1+p_2+p_3+p_4+p_5+p_6=1 $$

であり、さらに

$$ p_1=p_6,\quad p_2=p_5,\quad p_3=p_4 $$

だから、

$$ 2(p_1+p_2+p_3)=1 $$

となる。よって

$$ p_3=\frac12-p_1-p_2 $$

である。

(1) $Q(6)$ を求める

3回の出目の和が $6$ になる組を考える。順序を無視して分類すると、

$$ (1,1,4),\quad (1,2,3),\quad (2,2,2) $$

である。

それぞれの順序つきの並べ方を考える。

(i)

$(1,1,4)$ 型

並べ方は $3$ 通りである。また $p_4=p_3$ だから、この型の確率の合計は

$$ 3p_1^2p_3 $$

である。

(ii)

$(1,2,3)$ 型

並べ方は $3!=6$ 通りであるから、この型の確率の合計は

$$ 6p_1p_2p_3 $$

である。

(iii)

$(2,2,2)$ 型

これは $1$ 通りであり、確率は

$$ p_2^3 $$

である。

したがって

$$ Q(6)=3p_1^2p_3+6p_1p_2p_3+p_2^3 $$

である。ここで $p_3=\dfrac12-p_1-p_2$ を代入すると、

$$ Q(6)=3p_1^2\left(\frac12-p_1-p_2\right)+6p_1p_2\left(\frac12-p_1-p_2\right)+p_2^3 $$

となる。

よって、$p_1,p_2$ だけで表すと

$$ Q(6)=\left(3p_1^2+6p_1p_2\right)\left(\frac12-p_1-p_2\right)+p_2^3 $$

である。

(2) $Q(7)$ の最大値を求める

$p_3=\dfrac16$ とする。条件 $p_3=p_4$ より $p_4=\dfrac16$ である。

全確率の和が $1$ だから、

$$ 2p_1+2p_2+\frac16+\frac16=1 $$

より

$$ p_1+p_2=\frac13 $$

である。したがって

$$ p_2=\frac13-p_1 $$

であり、確率であるから

$$ 0\leqq p_1\leqq \frac13 $$

である。

次に、3回の出目の和が $7$ になる組を考える。順序を無視して分類すると、

$$ (1,1,5),\quad (1,2,4),\quad (1,3,3),\quad (2,2,3) $$

である。

それぞれの確率を求める。

(i)

$(1,1,5)$ 型

$p_5=p_2$ で、並べ方は $3$ 通りだから、

$$ 3p_1^2p_2 $$

である。

(ii)

$(1,2,4)$ 型

$p_4=p_3$ で、並べ方は $6$ 通りだから、

$$ 6p_1p_2p_3 $$

である。

(iii)

$(1,3,3)$ 型

並べ方は $3$ 通りだから、

$$ 3p_1p_3^2 $$

である。

(iv)

$(2,2,3)$ 型

並べ方は $3$ 通りだから、

$$ 3p_2^2p_3 $$

である。

よって

$$ Q(7)=3p_1^2p_2+6p_1p_2p_3+3p_1p_3^2+3p_2^2p_3 $$

である。

$p_3=\dfrac16,\ p_2=\dfrac13-p_1$ を代入する。$x=p_1$ とおくと、

$$ 0\leqq x\leqq \frac13,\quad p_2=\frac13-x $$

であり、

$$ \begin{aligned} Q(7) &=3x^2\left(\frac13-x\right) +6x\left(\frac13-x\right)\frac16 +3x\left(\frac16\right)^2 +3\left(\frac13-x\right)^2\frac16\\ &=x^2-3x^3+x\left(\frac13-x\right)+\frac{x}{12} +\frac12\left(\frac13-x\right)^2\\ &=-3x^3+\frac12x^2+\frac1{12}x+\frac1{18}. \end{aligned} $$

この関数を

$$ f(x)=-3x^3+\frac12x^2+\frac1{12}x+\frac1{18} $$

とおく。

微分すると、

$$ f'(x)=-9x^2+x+\frac1{12} $$

である。よって

$$ f'(x)=0 $$

を解くと、

$$ -9x^2+x+\frac1{12}=0 $$

であり、両辺を $12$ 倍して

$$ 108x^2-12x-1=0 $$

を得る。したがって

$$ x=\frac{12\pm\sqrt{144+432}}{216} =\frac{12\pm24}{216} $$

より、

$$ x=\frac16,\quad -\frac1{18} $$

である。

定義域 $0\leqq x\leqq \dfrac13$ に入るのは

$$ x=\frac16 $$

のみである。

端点も確認する。

$$ f(0)=\frac1{18} $$

また、

$$ f\left(\frac13\right)=\frac1{36} $$

である。一方、

$$ f\left(\frac16\right) =-3\left(\frac16\right)^3 +\frac12\left(\frac16\right)^2 +\frac1{12}\cdot\frac16 +\frac1{18} =\frac5{72} $$

である。

比較すると

$$ \frac5{72}>\frac1{18},\quad \frac5{72}>\frac1{36} $$

だから、$Q(7)$ の最大値は

$$ \frac5{72} $$

である。

このとき

$$ p_1=x=\frac16 $$

であり、

$$ p_2=\frac13-p_1=\frac13-\frac16=\frac16 $$

である。

解説

この問題では、出目の確率が対称になっているため、まず $p_1,p_2,p_3$ の3変数に減らすことが重要である。

$Q(6)$ や $Q(7)$ を求めるときは、和が指定値になる出目を順序なしで分類し、その後で並べ方の数を掛ける。ここで順序つきの試行であることを忘れると、係数 $3$ や $6$ が抜けて誤答になる。

(2) では $p_3=\dfrac16$ が与えられるので、正規化条件から $p_1+p_2=\dfrac13$ となり、1変数の最大値問題に帰着する。端点を含む閉区間での最大値なので、微分して得た候補だけでなく、端点も確認する必要がある。

答え

(1)

$$ Q(6)=\left(3p_1^2+6p_1p_2\right)\left(\frac12-p_1-p_2\right)+p_2^3 $$

(2)

$$ Q(7)_{\max}=\frac5{72} $$

そのとき

$$ p_1=\frac16,\quad p_2=\frac16 $$