数学A 確率 問題 23 解説

方針・初手

$n$ 個のさいころを区別して考えると、全事象は $6^n$ 通りである。

「少なくとも1個ある」は余事象で数えるとよい。また、最小値や最大値に関する条件は、「すべての目がある範囲に入る」という条件に言い換えて数える。

解法1

（1） 少なくとも $1$ 個は $1$ の目が出る確率を求める。

余事象は「どのさいころにも $1$ の目が出ない」ことである。このとき各さいころの目は $2,3,4,5,6$ の $5$ 通りなので、場合の数は $5^n$ 通りである。

したがって、余事象の確率は

$$ \left(\frac{5}{6}\right)^n $$

であるから、求める確率は

$$ 1-\left(\frac{5}{6}\right)^n $$

である。

（2） 出る目の最小値が $2$ である確率を求める。

最小値が $2$ であるとは、すべての目が $2$ 以上であり、かつ少なくとも $1$ 個は $2$ の目が出るということである。

すべての目が $2$ 以上である場合、各さいころの目は $2,3,4,5,6$ の $5$ 通りなので、場合の数は $5^n$ 通りである。

この中から、$2$ がまったく出ない場合を除く。その場合、各さいころの目は $3,4,5,6$ の $4$ 通りなので、場合の数は $4^n$ 通りである。

よって、最小値が $2$ である場合の数は

$$ 5^n-4^n $$

である。

したがって、求める確率は

$$ \frac{5^n-4^n}{6^n} $$

である。

（3） 出る目の最小値が $2$ かつ最大値が $5$ である確率を求める。

この条件は、すべての目が $2,3,4,5$ のいずれかであり、さらに $2$ と $5$ が少なくとも $1$ 個ずつ出ることと同値である。

まず、すべての目が $2,3,4,5$ のいずれかである場合の数は

$$ 4^n $$

である。

この中から、$2$ が出ない場合と $5$ が出ない場合を除く。

$2$ が出ない場合、各さいころの目は $3,4,5$ の $3$ 通りなので $3^n$ 通りである。同様に、$5$ が出ない場合も $3^n$ 通りである。

ただし、$2$ も $5$ も出ない場合、各さいころの目は $3,4$ の $2$ 通りなので $2^n$ 通りであり、これは二重に除いているため加え戻す。

よって、条件を満たす場合の数は

$$ 4^n-2\cdot 3^n+2^n $$

である。

したがって、求める確率は

$$ \frac{4^n-2\cdot 3^n+2^n}{6^n} $$

である。

解説

最小値が指定される問題では、「すべてがその値以上」で数えたあと、「その値が出ない場合」を除くのが基本である。

最大値も同時に指定される場合は、「すべてが指定された範囲内にある」と考え、その範囲の両端が少なくとも1回ずつ出るように包除原理で処理する。

答え

(1)

$$ 1-\left(\frac{5}{6}\right)^n $$

(2)

$$ \frac{5^n-4^n}{6^n} $$

(3)

$$ \frac{4^n-2\cdot 3^n+2^n}{6^n} $$