数学A 確率 問題 24 解説

方針・初手

同時に $3$ 枚を抜くので、順序を考えず、すべての場合の数を組合せで数える。

全事象は

$$ {}_9\mathrm{C}_{3}=84 $$

通りである。各条件を満たす $3$ 枚の選び方を数えればよい。

解法1

全体は $1$ から $9$ までの $9$ 枚から $3$ 枚を選ぶので、

$$ {}_9\mathrm{C}_{3}=84 $$

通りである。

（1） 数字の積が $5$ の倍数となるには、選んだ $3$ 枚の中に $5$ が含まれていればよい。

$5$ を必ず選び、残り $2$ 枚を他の $8$ 枚から選ぶので、

$$ {}_8\mathrm{C}_{2}=28 $$

通りである。したがって、求める確率は

$$ \frac{28}{84}=\frac{1}{3} $$

である。

（2） 数字の積が偶数となるには、少なくとも $1$ 枚は偶数が含まれていればよい。

余事象は、選んだ $3$ 枚がすべて奇数である場合である。奇数は

$$ 1,3,5,7,9 $$

の $5$ 枚だから、すべて奇数となる選び方は

$$ {}_5\mathrm{C}_{3}=10 $$

通りである。よって、積が偶数となる選び方は

$$ 84-10=74 $$

通りである。

したがって、求める確率は

$$ \frac{74}{84}=\frac{37}{42} $$

である。

（3） 数字の和が偶数となるには、選んだ奇数の枚数が偶数であればよい。

奇数は $5$ 枚、偶数は $4$ 枚である。$3$ 枚選ぶとき、和が偶数になるのは次の $2$ 通りである。

（i） 奇数 $0$ 枚、偶数 $3$ 枚を選ぶ場合

$$ {}_4\mathrm{C}_{3}=4 $$

通りである。

（ii） 奇数 $2$ 枚、偶数 $1$ 枚を選ぶ場合

$$ {}_5\mathrm{C}_{2}{}_4\mathrm{C}_{1}=10\cdot 4=40 $$

通りである。

よって、和が偶数となる選び方は

$$ 4+40=44 $$

通りである。

したがって、求める確率は

$$ \frac{44}{84}=\frac{11}{21} $$

である。

（4） 最大の数字が $7$ であるためには、$7$ を必ず選び、残り $2$ 枚を $1$ から $6$ の中から選べばよい。

したがって、条件を満たす選び方は

$$ {}_6\mathrm{C}_{2}=15 $$

通りである。

よって、求める確率は

$$ \frac{15}{84}=\frac{5}{28} $$

である。

（5） 数字の積が $10$ の倍数となるには、積が $2$ と $5$ の両方を因数にもてばよい。

$1$ から $9$ の中で $5$ の倍数は $5$ だけなので、まず $5$ を必ず選ぶ必要がある。さらに、残り $2$ 枚のうち少なくとも $1$ 枚が偶数であればよい。

$5$ を選んだうえで、残り $2$ 枚を他の $8$ 枚から選ぶ方法は

$$ {}_8\mathrm{C}_{2}=28 $$

通りである。

このうち、残り $2$ 枚がどちらも奇数である場合は、積が $10$ の倍数にならない。$5$ 以外の奇数は

$$ 1,3,7,9 $$

の $4$ 枚なので、その選び方は

$$ {}_4\mathrm{C}_{2}=6 $$

通りである。

したがって、積が $10$ の倍数となる選び方は

$$ 28-6=22 $$

通りである。

よって、求める確率は

$$ \frac{22}{84}=\frac{11}{42} $$

である。

解説

この問題では、カードを同時に抜くため、順序を区別しない組合せで数えることが重要である。

積が偶数、積が $10$ の倍数のように「少なくとも」を含む条件では、余事象を使うと数えやすい。特に、積が $10$ の倍数である条件は「$5$ を含む」だけでは不十分であり、さらに偶数を含む必要がある。この点を見落とすと誤答になりやすい。

また、和の偶奇は、各数字そのものではなく、選ばれた奇数の枚数だけで決まる。奇数を偶数枚選べば和は偶数になる。

答え

(1)

$$ \frac{1}{3} $$

(2)

$$ \frac{37}{42} $$

(3)

$$ \frac{11}{21} $$

(4)

$$ \frac{5}{28} $$

(5)

$$ \frac{11}{42} $$