数学A 確率 問題 34 解説

方針・初手

3枚を同時に取り出すので、順序は考えず、すべての取り出し方を組合せで数える。

全体の場合の数は

$$ {}_{12}\mathrm{C}_{3}=220 $$

である。したがって、それぞれの条件を満たす3枚の選び方を数え、$220$ で割ればよい。

解法1

（1） ちょうど2種類の色がある場合を数える。

3枚の色の分かれ方は、ある色が2枚、別の色が1枚である。

まず、2枚出る色を選ぶ方法は $3$ 通りである。その色の4枚から2枚を選ぶ方法は

$$ {}_{4}\mathrm{C}_{2}=6 $$

通りである。

次に、残りの1枚の色は、残った2色から選ぶので $2$ 通りであり、その色の4枚から1枚を選ぶので $4$ 通りである。

よって、条件を満たす場合の数は

$$ 3{}_{4}\mathrm{C}_{2}\cdot 2\cdot 4 =3\cdot 6\cdot 2\cdot 4 =144 $$

である。したがって、求める確率は

$$ \frac{144}{220}=\frac{36}{55} $$

である。

（2） すべて異なる数字である場合を数える。

数字は $1,2,3,4$ の4種類である。このうち、3枚に書かれている数字がすべて異なるので、使う数字を4種類から3種類選ぶ。

$$ {}_{4}\mathrm{C}_{3}=4 $$

通りである。

各数字について、赤・黄・青の3色のうち1枚を選べるので、色の選び方は

$$ 3^3=27 $$

通りである。

よって、条件を満たす場合の数は

$$ {}_{4}\mathrm{C}_{3}3^3 =4\cdot 27 =108 $$

である。したがって、求める確率は

$$ \frac{108}{220}=\frac{27}{55} $$

である。

（3） ちょうど2種類の数字がある場合を数える。

3枚の数字の分かれ方は、ある数字が2枚、別の数字が1枚である。

まず、2枚出る数字を選ぶ方法は $4$ 通りである。その数字は赤・黄・青の3枚があるので、そのうち2枚を選ぶ方法は

$$ {}_{3}\mathrm{C}_{2}=3 $$

通りである。

次に、残りの1枚の数字を、最初に選んだ数字以外の3種類から選ぶので $3$ 通りである。その数字について、色は3通りに選べる。

よって、条件を満たす場合の数は

$$ 4{}_{3}\mathrm{C}_{2}\cdot 3\cdot 3 =4\cdot 3\cdot 3\cdot 3 =108 $$

である。したがって、求める確率は

$$ \frac{108}{220}=\frac{27}{55} $$

である。

（4） 最大の数字が3である場合を数える。

最大の数字が3であるとは、3枚の数字がすべて $1,2,3$ のいずれかであり、かつ少なくとも1枚は数字3であるということである。

数字が $1,2,3$ のカードは、それぞれ3色ずつあるので合計 $9$ 枚である。この9枚から3枚を選ぶ方法は

$$ {}_{9}\mathrm{C}_{3} $$

通りである。

ただし、この中には数字3を含まない場合、つまり数字が $1,2$ だけである場合が含まれる。数字が $1,2$ のカードは合計 $6$ 枚なので、そのような選び方は

$$ {}_{6}\mathrm{C}_{3} $$

通りである。

よって、条件を満たす場合の数は

$$ {}_{9}\mathrm{C}_{3}-{}_{6}\mathrm{C}_{3} =84-20 =64 $$

である。したがって、求める確率は

$$ \frac{64}{220}=\frac{16}{55} $$

である。

（5） 3つの数字の和が6である場合を数える。

3つの数字の組合せを、順序を無視して考える。数字は $1,2,3,4$ であり、和が6になる組は

$$ (1,1,4),\quad (1,2,3),\quad (2,2,2) $$

である。

まず、$(1,1,4)$ の場合を数える。数字1のカードは3枚あるので、そのうち2枚を選ぶ方法は

$$ {}_{3}\mathrm{C}_{2}=3 $$

通りである。また、数字4のカードは3枚あるので、1枚の選び方は $3$ 通りである。したがって

$$ {}_{3}\mathrm{C}_{2}\cdot 3=3\cdot 3=9 $$

通りである。

次に、$(1,2,3)$ の場合を数える。それぞれの数字について色を1つずつ選べばよいので

$$ 3^3=27 $$

通りである。

最後に、$(2,2,2)$ の場合を数える。数字2のカードは赤・黄・青の3枚だけなので、この3枚をすべて選ぶ1通りである。

よって、条件を満たす場合の数は

$$ 9+27+1=37 $$

である。したがって、求める確率は

$$ \frac{37}{220} $$

である。

解説

この問題では、カードは色と数字の組によって区別される。したがって、同じ数字でも色が違えば別のカードとして数える必要がある。

また、3枚を同時に取り出すので、順序をつけて数える必要はない。全体を ${}_{12}\mathrm{C}_{3}$ としてそろえ、各条件に合う組合せを数えるのが最も安定した解法である。

特に、（4） は「最大が3」を「すべて3以下、かつ3を含む」と言い換えると数えやすい。（5） は、まず数字の組を列挙してから、それぞれに対して色の選び方を数えるのがよい。

答え

(1)

$$ \frac{36}{55} $$

(2)

$$ \frac{27}{55} $$

(3)

$$ \frac{27}{55} $$

(4)

$$ \frac{16}{55} $$

(5)

$$ \frac{37}{220} $$