数学A 確率 問題 35 解説

方針・初手

各試行では、取り出した玉を戻したうえで同じ色の玉を $2$ 個追加する。したがって、袋の中の玉の総数は毎回 $2$ 個ずつ増える。

確率は、各回の直前の袋の中身を追いながら、条件つき確率の積で求める。

解法1

1回の試行を行うと、取り出した玉は袋に戻され、さらに同じ色の玉が $2$ 個追加される。よって、どの色が出た場合でも、袋の中の玉の総数は

$$ 2 $$

個増える。したがって

$$ \boxed{①=2} $$

である。

次に、2回とも赤玉が出る確率を求める。

最初は赤玉、白玉、黒玉がそれぞれ $1$ 個ずつなので、1回目に赤玉が出る確率は

$$ \frac{1}{3} $$

である。

1回目に赤玉が出たとき、赤玉は $2$ 個追加されるので、袋の中身は

$$ \text{赤 }3\text{ 個},\quad \text{白 }1\text{ 個},\quad \text{黒 }1\text{ 個} $$

となる。したがって、2回目も赤玉が出る確率は

$$ \frac{3}{5} $$

である。

よって、2回とも赤玉が出る確率は

$$ \frac{1}{3}\cdot \frac{3}{5}=\frac{1}{5} $$

である。したがって

$$ \boxed{②=\frac{1}{5}} $$

である。

また、2回とも同じ色が出る場合は、2回とも赤玉、2回とも白玉、2回とも黒玉の $3$ 通りである。対称性により、それぞれの確率は同じなので、

$$ 3\cdot \frac{1}{5}=\frac{3}{5} $$

となる。したがって

$$ \boxed{③=\frac{3}{5}} $$

である。

次に、3回とも同じ色の玉が出る確率を求める。

まず、3回とも赤玉が出る確率は

$$ \frac{1}{3}\cdot \frac{3}{5}\cdot \frac{5}{7} =\frac{1}{7} $$

である。

3回とも白玉、3回とも黒玉の場合も同じ確率であるから、3回とも同じ色の玉が出る確率は

$$ 3\cdot \frac{1}{7}=\frac{3}{7} $$

である。したがって

$$ \boxed{④=\frac{3}{7}} $$

である。

次に、3回の試行でちょうど $2$ 種類の玉が出る確率を求める。

3回の試行で起こり得る色の種類数は、$1$ 種類、$2$ 種類、$3$ 種類のいずれかである。よって、ちょうど $2$ 種類の玉が出る確率は

$$ 1-\text{「1種類だけ出る確率」}-\text{「3種類すべて出る確率」} $$

で求められる。

すでに、1種類だけ出る確率、すなわち3回とも同じ色が出る確率は

$$ \frac{3}{7} $$

である。

次に、3種類すべて出る確率を求める。たとえば赤、白、黒の順に出る確率は

$$ \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{5}\cdot \frac{1}{7} =\frac{1}{105} $$

である。

3種類すべてが出る順序は

$$ 3!=6 $$

通りあるので、3種類すべて出る確率は

$$ 6\cdot \frac{1}{105} =\frac{2}{35} $$

である。

したがって、ちょうど $2$ 種類の玉が出る確率は

$$ 1-\frac{3}{7}-\frac{2}{35} =\frac{35}{35}-\frac{15}{35}-\frac{2}{35} =\frac{18}{35} $$

である。よって

$$ \boxed{⑤=\frac{18}{35}} $$

である。

最後に、5回とも同じ色の玉が出る確率を求める。

まず、5回とも赤玉が出る確率は

$$ \frac{1}{3}\cdot \frac{3}{5}\cdot \frac{5}{7}\cdot \frac{7}{9}\cdot \frac{9}{11} =\frac{1}{11} $$

である。

5回とも白玉、5回とも黒玉の場合も同じ確率であるから、5回とも同じ色の玉が出る確率は

$$ 3\cdot \frac{1}{11} =\frac{3}{11} $$

である。したがって

$$ \boxed{⑥=\frac{3}{11}} $$

である。

解説

この問題では、玉を取り出して戻すだけでなく、同じ色の玉を $2$ 個追加するため、各回の確率が変化する。

重要なのは、特定の色が続けて出る場合には、その色の個数が

$$ 1,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9,\ \cdots $$

のように増える点である。一方、袋全体の玉の個数は

$$ 3,\ 5,\ 7,\ 9,\ 11,\ \cdots $$

のように増える。

したがって、「同じ色が続く確率」は分子と分母が対応して消えていく形になる。特に、5回とも赤玉が出る確率は

$$ \frac{1}{3}\cdot \frac{3}{5}\cdot \frac{5}{7}\cdot \frac{7}{9}\cdot \frac{9}{11} =\frac{1}{11} $$

となる。

また、「ちょうど2種類」のような条件は直接数えるよりも、全体から「1種類だけ」と「3種類すべて」を引く方が整理しやすい。

答え

(1)

$$ \boxed{①=2} $$

(2)

$$ \boxed{②=\frac{1}{5}},\qquad \boxed{③=\frac{3}{5}} $$

(3)

$$ \boxed{④=\frac{3}{7}},\qquad \boxed{⑤=\frac{18}{35}} $$

(4)

$$ \boxed{⑥=\frac{3}{11}} $$