数学A 確率 問題 43 解説

方針・初手

袋 $A,B,C$ は区別されているので、取り出される数の組 $(a,b,c)$ は順序付きで考える。

各袋には $1$ から $10$ までの数が1つずつ書かれた球が入っているから、全事象の数は

$$ 10^3=1000 $$

であり、どの $(a,b,c)$ も同様に確からしい。したがって、それぞれの条件を満たす順序付き組の個数を数えればよい。

解法1

まず、全事象は

$$ (a,b,c)\in {1,2,\dots,10}^3 $$

であり、全部で $1000$ 通りである。

(1)

$a,b,c$ がすべて異なる場合を数える。

$a$ は $10$ 通り、$b$ は $a$ と異なるので $9$ 通り、$c$ は $a,b$ と異なるので $8$ 通りである。よって条件を満たす組は

$$ 10\cdot 9\cdot 8=720 $$

通りである。したがって求める確率は

$$ \frac{720}{1000}=\frac{18}{25} $$

である。

(2)

$a,b,c$ の最大値が $7$ 以下であるとは、$a,b,c$ がすべて $1$ から $7$ までの数であることと同値である。

したがって、それぞれ $7$ 通りずつ選べるので、条件を満たす組は

$$ 7^3=343 $$

通りである。よって求める確率は

$$ \frac{343}{1000} $$

である。

(3)

$a,b,c$ の最大値が $7$ である場合を考える。

最大値が $7$ であるとは、最大値が $7$ 以下であり、かつ最大値が $6$ 以下ではないということである。よって、条件を満たす組の数は

$$ 7^3-6^3 $$

である。

計算すると

$$ 7^3-6^3=343-216=127 $$

であるから、求める確率は

$$ \frac{127}{1000} $$

である。

(4)

$a+b+c=10$ となる場合を数える。

$a,b,c$ はいずれも $1$ 以上の整数である。そこで

$$ x=a-1,\quad y=b-1,\quad z=c-1 $$

とおくと、$x,y,z$ は $0$ 以上の整数であり、

$$ x+y+z=7 $$

を満たす。

この非負整数解の個数は、$7$ 個のものを $3$ つに分ける重複組合せであるから

$$ {}_9\mathrm{C}_{2}=36 $$

通りである。

また、$a+b+c=10$ であれば $a,b,c$ は自動的に $10$ 以下なので、上限 $10$ には引っかからない。したがって条件を満たす組は $36$ 通りであり、求める確率は

$$ \frac{36}{1000}=\frac{9}{250} $$

である。

解説

この問題では、袋 $A,B,C$ が区別されている点が重要である。したがって、例えば $(1,2,7)$ と $(2,1,7)$ は別の場合として数える。

(1) は順に選ぶ数え方、(2) は最大値の条件を「すべて $7$ 以下」と言い換えること、(3) は「最大値がちょうど $7$」を差で処理することが基本である。

(4) は和が決まっている正の整数解の個数を数える問題であり、$a-1,b-1,c-1$ と置いて非負整数解の個数に直すのが典型的な処理である。

答え

(1)

$$ \frac{18}{25} $$

(2)

$$ \frac{343}{1000} $$

(3)

$$ \frac{127}{1000} $$

(4)

$$ \frac{9}{250} $$