数学A 確率 問題 44 解説

方針・初手

3枚を同時に引くので、カードを引く順序は考えない。

よって、全事象は

$$ {}_{36}C_3=\frac{36\cdot35\cdot34}{3\cdot2\cdot1}=7140 $$

通りである。

あとは、$1\leq a<b<c\leq 36$ として、$a+b+c=6,12,24$ を満たす組の個数を数えればよい。

解法1

引いた3枚の数を小さい順に $a,b,c$ とする。

和が $6$ となる場合

$$ a+b+c=6 $$

を満たす正の異なる整数の組は

$$ (1,2,3) $$

のみである。

したがって、求める確率は

$$ \frac{1}{7140} $$

である。

和が $12$ となる場合

$$ a+b+c=12 $$

を満たす $1\leq a<b<c$ の組を数える。

$a=1$ のとき、

$$ (b,c)=(2,9),(3,8),(4,7),(5,6) $$

で $4$ 通りである。

$a=2$ のとき、

$$ (b,c)=(3,7),(4,6) $$

で $2$ 通りである。

$a=3$ のとき、

$$ (b,c)=(4,5) $$

で $1$ 通りである。

よって、全部で

$$ 4+2+1=7 $$

通りである。

したがって、求める確率は

$$ \frac{7}{7140}=\frac{1}{1020} $$

である。

和が $24$ となる場合

$$ a+b+c=24 $$

を満たす $1\leq a<b<c$ の組を数える。

$a$ を固定すると、

$$ c=24-a-b $$

であり、$b<c$ より

$$ b<24-a-b $$

すなわち

$$ 2b<24-a $$

である。

また $a<b$ であるから、$b$ の範囲を調べればよい。

したがって、全部で

$$ 10+8+7+5+4+2+1=37 $$

通りである。

よって、求める確率は

$$ \frac{37}{7140} $$

である。

解説

この問題では、3枚を「同時に」引くので順序を考えないことが重要である。

したがって、$(1,2,9)$ と $(2,1,9)$ などを別々に数えてはいけない。小さい順に $a<b<c$ とおくことで重複を防げる。

また、今回は和が $6,12,24$ と比較的小さいため、$c\leq36$ の条件は自動的に満たされる。よって、正の異なる整数の組を数えるだけでよい。

答え

$$ [ク]=\frac{1}{7140} $$

$$ [ケ]=\frac{1}{1020} $$

$$ [コ]=\frac{37}{7140} $$