数学A 確率 問題 53 解説

方針・初手

このゲームでは、同じカードの組合せでも取り出す順番によって負ける時点が変わる。したがって、順序つきで数える。

取り出したカードを順に $a_1,a_2,\dots,a_5$ とし、$k$ 枚目までの和を

$$ S_k=a_1+a_2+\cdots+a_k $$

とおく。$k$ 枚目で負けるとは、

$$ S_1,S_2,\dots,S_{k-1}\notin{0,3,6,9},\quad S_k\in{0,3,6,9} $$

となることである。

解法1

(1)

2枚目で負けるためには、1枚目では負けず、2枚目までの和がマジックナンバーになればよい。

1枚目で負けないためには、1枚目は $1,2,4$ のいずれかである。2枚目までの和であり得るマジックナンバーは $3,6$ であるから、条件を満たす順序つきの組は

$$ (1,2),\ (2,1),\ (2,4),\ (4,2) $$

の $4$ 通りである。

2枚を順に取り出す場合の総数は

$$ 5\cdot 4=20 $$

通りなので、求める確率は

$$ \frac{4}{20}=\frac{1}{5} $$

である。

(2)

3枚目で負けるためには、1枚目、2枚目までは負けず、3枚目までの和がマジックナンバーになればよい。

条件を満たす順序つきの3枚の組を数える。該当するものは

$$ \begin{aligned} &(1,0,2),\ (1,3,2),\\ &(2,0,1),\ (2,0,4),\ (2,3,1),\ (2,3,4),\\ &(4,0,2),\ (4,3,2) \end{aligned} $$

の $8$ 通りである。

例えば $(1,3,2)$ では、途中の和は

$$ 1,\ 4,\ 6 $$

となり、1枚目、2枚目では負けず、3枚目で初めて負ける。

3枚を順に取り出す場合の総数は

$$ 5\cdot 4\cdot 3=60 $$

通りなので、求める確率は

$$ \frac{8}{60}=\frac{2}{15} $$

である。

(3)

5枚すべてを取り出したときの合計は

$$ 0+1+2+3+4=10 $$

であり、$10$ はマジックナンバーではない。したがって、勝つとは、1枚目から4枚目までの途中の和が一度も $0,3,6,9$ にならないことである。

全体の順序つきの取り出し方は

$$ 5!=120 $$

通りである。負ける場合を、負ける時点ごとに数える。

1枚目で負けるのは、最初のカードが $0$ または $3$ の場合であるから、

$$ 2\cdot 4!=48 $$

通りである。

2枚目で負ける場合は、（1） より最初の2枚の並びが $4$ 通りであり、残り3枚の並び方が $3!$ 通りあるので、

$$ 4\cdot 3!=24 $$

通りである。

3枚目で負ける場合は、（2） より最初の3枚の並びが $8$ 通りであり、残り2枚の並び方が $2!$ 通りあるので、

$$ 8\cdot 2!=16 $$

通りである。

4枚目で負ける場合を数える。1枚目から3枚目までは負けず、4枚目までの和がマジックナンバーになる順序つきの並びは

$$ \begin{aligned} &(1,0,3,2),\ (1,3,0,2),\\ &(2,0,3,1),\ (2,0,3,4),\\ &(2,3,0,1),\ (2,3,0,4),\\ &(4,0,3,2),\ (4,3,0,2) \end{aligned} $$

の $8$ 通りである。

よって、負ける並びの総数は

$$ 48+24+16+8=96 $$

通りである。したがって、勝つ並びの数は

$$ 120-96=24 $$

通りである。

よって、勝つ確率は

$$ \frac{24}{120}=\frac{1}{5} $$

である。

解説

この問題では、「どのカードを引いたか」だけでなく「どの順番で引いたか」が重要である。途中の和がマジックナンバーになった時点で負けるため、組合せではなく順列として数える必要がある。

特に、$0$ のカードは和を変えないため、途中に $0$ が入る場合も見落としやすい。例えば $(1,3,0,2)$ では途中の和が $1,4,4,6$ となり、4枚目で初めて負ける。

勝つ確率は直接数えることもできるが、負ける時点を1枚目から4枚目に分けて数え、全体から引く方が整理しやすい。

答え

(1)

$$ \frac{1}{5} $$

(2)

$$ \frac{2}{15} $$

(3)

$$ \frac{1}{5} $$