数学A 確率 問題 67 解説

方針・初手

(1) は底が $1$ より小さい対数なので、不等式を指数・対数の性質で丁寧に変形する。特に、不等号の向きの変化に注意する。

(2) は $3$ で割った余りだけを見ればよい。$2 \equiv -1 \pmod{3}$ を用いて、$2^a,2^b,2^c$ の余りを偶奇で判定する。

解法1

まず、さいころを $3$ 回投げる全事象の数は

$$ 6^3=216 $$

である。

(1)

条件は

$$ \log_{\frac14}(a+b)>\log_{\frac12}c $$

である。

底を $2$ にそろえると、

$$ \begin{aligned} \log_{\frac14}(a+b) &= \frac{\log_2(a+b)}{\log_2 \frac14} \\ -\frac12\log_2(a+b) \end{aligned} $$

また、

$$ \begin{aligned} \log_{\frac12}c &= \frac{\log_2 c}{\log_2 \frac12} \\ -\log_2 c \end{aligned} $$

である。したがって、与えられた不等式は

$$ -\frac12\log_2(a+b)>-\log_2 c $$

となる。両辺に $-2$ をかけると、不等号の向きが反転して

$$ \log_2(a+b)<2\log_2 c $$

となる。さらに

$$ 2\log_2 c=\log_2 c^2 $$

であり、底 $2$ は $1$ より大きいので、

$$ a+b<c^2 $$

を得る。

よって、各 $c$ について $a+b<c^2$ を満たす $(a,b)$ の個数を数えればよい。

$c=1$ のとき、

$$ a+b<1 $$

を満たすものはない。

$c=2$ のとき、

$$ a+b<4 $$

であるから、$a+b=2,3$ の場合である。個数は

$$ 1+2=3 $$

である。

$c=3$ のとき、

$$ a+b<9 $$

である。さいころ $2$ 個の出目の組は全部で $36$ 通りであり、$a+b\geqq 9$ となるのは和が $9,10,11,12$ の場合である。その個数は

$$ 4+3+2+1=10 $$

であるから、条件を満たす個数は

$$ 36-10=26 $$

である。

$c=4,5,6$ のときは、$c^2\geqq 16$ である。一方で $a+b$ の最大値は $12$ なので、すべての $(a,b)$ が条件を満たす。したがって、それぞれ $36$ 通りである。

以上より、条件を満たす組 $(a,b,c)$ の個数は

$$ 0+3+26+36+36+36=137 $$

である。

したがって、求める確率は

$$ \frac{137}{216} $$

である。

(2)

$3$ で割った余りを考える。$2\equiv -1\pmod{3}$ であるから、

$$ 2^n\equiv (-1)^n \pmod{3} $$

である。

したがって、

$$ 2^n\equiv \begin{cases} 1 \pmod{3} & n \text{ が偶数のとき} \\ -1 \pmod{3} & n \text{ が奇数のとき} \end{cases} $$

となる。

よって、$2^a+2^b+2^c$ が $3$ の倍数となるためには、$2^a,2^b,2^c$ の余りがすべて $1$ であるか、すべて $-1$ であればよい。

つまり、$a,b,c$ がすべて偶数、またはすべて奇数であればよい。

さいころの出目のうち、偶数は $2,4,6$ の $3$ 個、奇数は $1,3,5$ の $3$ 個である。

したがって、条件を満たす組の個数は

$$ 3^3+3^3=27+27=54 $$

である。

よって、求める確率は

$$ \frac{54}{216}=\frac14 $$

である。

解説

(1) は、対数の底が $1$ より小さいことに注意する問題である。ただし、直接単調減少性を使うより、底を $2$ にそろえて計算すると、不等号の向きの処理を誤りにくい。

(2) は、実際に $2^a+2^b+2^c$ の値を計算する必要はない。$3$ の倍数判定なので、$3$ で割った余りだけを考えれば十分である。$2^n$ の余りが $n$ の偶奇だけで決まることに気づけば、あとは偶奇の数え上げで終わる。

答え

(1)

$$ \frac{137}{216} $$

(2)

$$ \frac14 $$