数学A 確率 問題 83 解説

方針・初手

4回の出目の並びはすべて同様に確からしいので、全事象は

$$ 6^4=1296 $$

通りである。各条件を満たす出目の並びを数えて、$1296$ で割ればよい。

解法1

（1） まず、$a_1<a_2<a_3<a_4$ となる場合を考える。

4つの出目がすべて異なり、小さい順に並んでいる必要がある。したがって、$1,2,3,4,5,6$ の中から異なる4個の数を選べば、その並び方は小さい順にただ1通りに決まる。

よって、条件を満たす並びは

$$ {}_6\mathrm{C}_{4}=15 $$

通りである。したがって確率は

$$ \frac{15}{1296}=\frac{5}{432} $$

である。

次に、$a_1\leqq a_2\leqq a_3\leqq a_4$ となる場合を考える。

これは、$1$ から $6$ までの数から重複を許して4個選び、それを小さい順に並べる場合と同じである。重複組合せより、その個数は

$$ {}_{6+4-1}\mathrm{C}_{4}={}_9\mathrm{C}_{4}=126 $$

通りである。

したがって確率は

$$ \frac{126}{1296}=\frac{7}{72} $$

である。

(2)

$a_1+a_2=a_3+a_4=7$ となる確率を求める。

まず、2個のさいころの出目の和が $7$ になる順序つきの組は

$$ (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) $$

の6通りである。

$a_1+a_2=7$ となる組が6通り、$a_3+a_4=7$ となる組も6通りであり、これらは独立に選べるので、条件を満たす並びは

$$ 6\cdot 6=36 $$

通りである。

したがって確率は

$$ \frac{36}{1296}=\frac{1}{36} $$

である。

（3） 出る目の数の最大値が $4$ となる確率を求める。

最大値が $4$ であるとは、4回の出目がすべて $4$ 以下であり、かつ少なくとも1回は $4$ が出るということである。

まず、すべての出目が $4$ 以下である場合は、各回の出目が $1,2,3,4$ の4通りなので

$$ 4^4=256 $$

通りである。

このうち、$4$ が1回も出ない場合、すなわちすべての出目が $1,2,3$ のいずれかである場合は

$$ 3^4=81 $$

通りである。

よって、最大値が $4$ となる並びは

$$ 4^4-3^4=256-81=175 $$

通りである。

したがって確率は

$$ \frac{175}{1296} $$

である。

解説

この問題では、さいころを4回投げるので、順序を区別した全事象が $6^4$ 通りであることを最初に固定するのが重要である。

$a_1<a_2<a_3<a_4$ では、選んだ4個の数の順序が自動的に決まるため、順列ではなく組合せで数える。一方、$a_1\leqq a_2\leqq a_3\leqq a_4$ では同じ数を何度使ってもよいので、重複組合せになる。

最大値が $4$ という条件は、「すべて $4$ 以下」から「すべて $3$ 以下」を引くと数えやすい。

答え

(1)

$$ \text{ケ}=\frac{5}{432},\qquad \text{コ}=\frac{7}{72} $$

(2)

$$ \text{サ}=\frac{1}{36} $$

(3)

$$ \text{シ}=\frac{175}{1296} $$