数学A 確率 問題 84 解説

方針・初手

出た目の最小公倍数がある値になるには、すべての出た目がその値の約数でなければならない。

サイコロの出た目は $1,2,3,4,5,6$ であり、全事象は

$$ 6^n $$

通りである。以下では、条件を満たす列の個数を数えてから $6^n$ で割る。

解法1

まず、$m=2$ となる場合を考える。

最小公倍数が $2$ であるためには、出た目はすべて $2$ の約数、すなわち $1,2$ のいずれかであり、さらに少なくとも1回は $2$ が出る必要がある。

したがって、条件を満たす列の個数は

$$ 2^n-1 $$

である。よって

$$ P(m=2)=\frac{2^n-1}{6^n} $$

である。

次に、$m=4$ となる場合を考える。

最小公倍数が $4$ であるためには、出た目はすべて $4$ の約数のうちサイコロで出るもの、すなわち $1,2,4$ のいずれかであり、さらに少なくとも1回は $4$ が出る必要がある。

したがって、条件を満たす列の個数は

$$ 3^n-2^n $$

である。よって

$$ P(m=4)=\frac{3^n-2^n}{6^n} $$

である。

次に、$m=6$ となる場合を考える。

最小公倍数が $6$ であるためには、出た目はすべて $6$ の約数、すなわち $1,2,3,6$ のいずれかである必要がある。そのうえで、素因数 $2$ と $3$ の両方が最小公倍数に現れなければならない。

$1,2,3,6$ のみからなる列は $4^n$ 通りである。このうち、素因数 $2$ が現れない列は $1,3$ のみからなる列で $2^n$ 通り、素因数 $3$ が現れない列は $1,2$ のみからなる列で $2^n$ 通りである。

ただし、両方に重複して数えられているのは、すべて $1$ の列の $1$ 通りである。よって条件を満たす列の個数は

$$ \begin{aligned} 4^n-2^n-2^n+1 &= 4^n-2^{n+1}+1 \end{aligned} $$

である。したがって

$$ P(m=6)=\frac{4^n-2^{n+1}+1}{6^n} $$

である。

最後に、$m$ がサイコロの出た目の1つと等しくなる確率を求める。

この条件が成り立つとき、$m$ 自身が出た目なので、$m$ は $1,2,3,4,5,6$ のいずれかである。それぞれの場合を数える。

(i)

$m=1$ の場合、すべての出た目が $1$ であるから、$1$ 通りである。

(ii)

$m=2$ の場合、出た目は $1,2$ のいずれかで、少なくとも1回 $2$ が出るから、$2^n-1$ 通りである。

(iii)

$m=3$ の場合、出た目は $1,3$ のいずれかで、少なくとも1回 $3$ が出るから、$2^n-1$ 通りである。

(iv)

$m=4$ の場合、出た目は $1,2,4$ のいずれかで、少なくとも1回 $4$ が出るから、$3^n-2^n$ 通りである。

(v)

$m=5$ の場合、出た目は $1,5$ のいずれかで、少なくとも1回 $5$ が出るから、$2^n-1$ 通りである。

(vi)

$m=6$ の場合、$m$ が出た目の1つと等しくなるためには、少なくとも1回 $6$ が出なければならない。また、他の出た目は $6$ の約数である $1,2,3,6$ のいずれかでなければならない。

したがって、この場合の列の個数は

$$ 4^n-3^n $$

である。

以上より、条件を満たす列の総数は

$$ \begin{aligned} &1+(2^n-1)+(2^n-1)+(3^n-2^n)+(2^n-1)+(4^n-3^n) \\ &=4^n+2^{n+1}-2 \end{aligned} $$

である。よって求める確率は

$$ \frac{4^n+2^{n+1}-2}{6^n} $$

である。

解説

最小公倍数がある値 $k$ になるためには、すべての出た目が $k$ の約数であることが必要である。そのうえで、$k$ を作るために必要な素因数がそろっているかを確認する。

特に $m=6$ では、必ずしも $6$ が出る必要はない。たとえば $2$ と $3$ が出れば最小公倍数は $6$ になる。この点が、(4) の「$m$ が出た目の1つと等しい」という条件との違いである。

答え

(1)

$$ \frac{2^n-1}{6^n} $$

(2)

$$ \frac{3^n-2^n}{6^n} $$

(3)

$$ \frac{4^n-2^{n+1}+1}{6^n} $$

(4)

$$ \frac{4^n+2^{n+1}-2}{6^n} $$