数学A 確率 問題 85 解説

方針・初手

終了するのは、ある回で直前と同じ目が出たときである。

したがって、$k$ 回目で終了するためには、$2$ 回目から $k-1$ 回目までは直前と異なる目が出続け、最後の $k$ 回目で直前と同じ目が出ればよい。

解法1

まず、$2$ 回振って終了する確率を求める。

$1$ 回目の目は何でもよい。$2$ 回目が $1$ 回目と同じ目であれば終了するので、

$$ \frac{1}{6} $$

である。

よって、①は

$$ \frac{1}{6} $$

である。

次に、$3$ 回振って終了する場合を考える。$2$ 回目では終了してはいけないので、$2$ 回目は $1$ 回目と異なる目である必要がある。その確率は $\frac{5}{6}$ である。

そのうえで、$3$ 回目が $2$ 回目と同じ目になれば終了するので、

$$ \begin{aligned} \frac{5}{6}\cdot \frac{1}{6} &= \frac{5}{36} \end{aligned} $$

である。

よって、②は

$$ \frac{5}{36} $$

である。

同様に、$4$ 回振って終了する場合は、$2$ 回目、$3$ 回目では直前と異なる目が出て、$4$ 回目で直前と同じ目が出ればよい。

したがって、

$$ \begin{aligned} \left(\frac{5}{6}\right)^2\cdot \frac{1}{6} &= \frac{25}{216} \end{aligned} $$

である。

よって、③は

$$ \frac{25}{216} $$

である。

次に、$5$ 回以内に終了する確率を求める。

これは、$2$ 回目、$3$ 回目、$4$ 回目、$5$ 回目のいずれかで初めて直前と同じ目が出る確率である。直接足し上げると、

$$ \frac{1}{6} + \frac{5}{6}\cdot \frac{1}{6} + \left(\frac{5}{6}\right)^2\cdot \frac{1}{6} + \left(\frac{5}{6}\right)^3\cdot \frac{1}{6} $$

である。これは等比数列の和であり、

$$ \begin{aligned} \frac{1}{6} \left\{ 1+\frac{5}{6}+\left(\frac{5}{6}\right)^2+\left(\frac{5}{6}\right)^3 \right\} &= 1-\left(\frac{5}{6}\right)^4 \end{aligned} $$

となる。

よって、

$$ \begin{aligned} 1-\left(\frac{5}{6}\right)^4 &= 1-\frac{625}{1296} \\ \frac{671}{1296} \end{aligned} $$

である。

したがって、④は

$$ \frac{671}{1296} $$

である。

最後に、$n$ 回以内に終了する確率を考える。

$n$ 回以内に終了しないとは、$2$ 回目から $n$ 回目まで、毎回直前と異なる目が出続けることである。各回で直前と異なる目が出る確率は $\frac{5}{6}$ なので、$n$ 回以内に終了しない確率は

$$ \left(\frac{5}{6}\right)^{n-1} $$

である。

したがって、余事象を用いると、$n$ 回以内に終了する確率は

$$ 1-\left(\frac{5}{6}\right)^{n-1} $$

である。

よって、⑤は

$$ 1-\left(\frac{5}{6}\right)^{n-1} $$

である。

解説

この問題では、「初めて同じ目が $2$ 回続く」という条件を正しく処理することが重要である。

$k$ 回目で終了する確率は、途中までは直前と異なる目が出続け、最後だけ直前と同じ目が出る確率である。したがって、

$$ \left(\frac{5}{6}\right)^{k-2}\cdot \frac{1}{6} $$

となる。

一方、「$n$ 回以内に終了する確率」は、直接足し上げてもよいが、余事象を考えると簡潔である。つまり、$n$ 回以内に終了しない確率は「連続する同じ目が一度も出ない確率」であり、

$$ \left(\frac{5}{6}\right)^{n-1} $$

である。

答え

(1)

①

$$ \frac{1}{6} $$

(2)

②

$$ \frac{5}{36} $$

(3)

③

$$ \frac{25}{216} $$

(4)

④

$$ \frac{671}{1296} $$

(5)

⑤

$$ 1-\left(\frac{5}{6}\right)^{n-1} $$