数学A 確率 問題 86 解説

方針・初手

点 $P$ が現在 $k$ にあるとき、最終的に $5$ に到達して終了する確率を $a_k$ とおく。

さいころの目が $1,2,3,4$ のとき $+1$ だけ動くので、その確率は

$$ p=\frac{4}{6}=\frac{2}{3} $$

であり、目が $5,6$ のとき $-1$ だけ動くので、その確率は

$$ q=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} $$

である。

求める確率は、点 $1$ から出発するので $a_1$ である。

解法1

点 $0$ に到達したら失敗、点 $5$ に到達したら成功であるから、

$$ a_0=0,\qquad a_5=1 $$

である。

また、$1\leqq k\leqq 4$ に対して、点 $k$ から次に $k+1$ へ進む確率は $\frac{2}{3}$、$k-1$ へ進む確率は $\frac{1}{3}$ である。したがって

$$ a_k=\frac{2}{3}a_{k+1}+\frac{1}{3}a_{k-1} $$

が成り立つ。

両辺に $3$ をかけて整理すると、

$$ 3a_k=2a_{k+1}+a_{k-1} $$

すなわち

$$ 2(a_{k+1}-a_k)=a_k-a_{k-1} $$

である。

ここで

$$ d_k=a_k-a_{k-1} $$

とおくと、

$$ 2d_{k+1}=d_k $$

より

$$ d_{k+1}=\frac{1}{2}d_k $$

となる。したがって、$d_1=a_1-a_0=a_1$ とおくと、

$$ d_1=a_1,\quad d_2=\frac{1}{2}a_1,\quad d_3=\frac{1}{4}a_1,\quad d_4=\frac{1}{8}a_1,\quad d_5=\frac{1}{16}a_1 $$

である。

一方、

$$ a_5-a_0=d_1+d_2+d_3+d_4+d_5 $$

であり、$a_5=1,\ a_0=0$ だから

$$ 1=a_1\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}\right) $$

となる。

括弧内を計算すると、

$$ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16} =\frac{31}{16} $$

であるから、

$$ 1=a_1\cdot \frac{31}{16} $$

よって

$$ a_1=\frac{16}{31} $$

である。

解説

この問題は、点 $0$ または点 $5$ に到達した時点で終了する偏りのあるランダムウォークである。

重要なのは、「点 $k$ から最終的に $5$ に到達する確率」を $a_k$ とおき、次の1回の移動に注目して漸化式を立てることである。

等確率で左右に動く場合なら確率は位置に比例するが、今回は右へ進む確率が $\frac{2}{3}$、左へ進む確率が $\frac{1}{3}$ と異なるため、単純に $\frac{1}{5}$ とはならない。差分 $a_k-a_{k-1}$ が等比数列になることを使うのが処理の要点である。

答え

$$ \frac{16}{31} $$