数学A 確率 問題 87 解説

方針・初手

最初の操作では、袋 $A,B,C$ からそれぞれ $1$ 個ずつ取り出すので、全事象の数は

$$ 5\cdot 7\cdot 6=210 $$

通りである。色ごとに取り出し方を数え、確率に直す。

後半は、$18$ 個すべてを $1$ つの袋に入れてから同時に $3$ 個取り出すので、組合せで数える。

解法1

袋の中身は次の通りである。

$$ A:(白2,赤3),\quad B:(白4,赤3),\quad C:(白4,赤1,青1) $$

まず、$A,B,C$ からそれぞれ $1$ 個ずつ取り出す場合を考える。

全事象の数は

$$ 5\cdot 7\cdot 6=210 $$

である。

3個の玉がすべて同じ色であるには、すべて白である場合と、すべて赤である場合がある。青は袋 $A,B$ に入っていないので、すべて青になることはない。

すべて白である取り出し方は

$$ 2\cdot 4\cdot 4=32 $$

通りである。

すべて赤である取り出し方は

$$ 3\cdot 3\cdot 1=9 $$

通りである。

したがって、3個がすべて同じ色である確率は

$$ \frac{32+9}{210}=\frac{41}{210} $$

である。

次に、3個のうち少なくとも $1$ 個が白玉である確率を求める。これは「白玉が1個もない」場合の余事象を考えるとよい。

白玉が1個もないためには、袋 $A$ から赤、袋 $B$ から赤、袋 $C$ から赤または青を取り出せばよい。したがって、その取り出し方は

$$ 3\cdot 3\cdot 2=18 $$

通りである。

よって、少なくとも $1$ 個が白玉である確率は

$$ \begin{aligned} 1-\frac{18}{210} &= 1-\frac{3}{35} \\ \frac{32}{35} \end{aligned} $$

である。

次に、3個の玉がすべて異なる色である確率を求める。色は白・赤・青の3色なので、3個がすべて異なるには、青玉を含まなければならない。

青玉は袋 $C$ にしか入っていないので、袋 $C$ から青玉を取り出し、袋 $A,B$ から白玉と赤玉を1個ずつ取り出す。

袋 $A$ から白、袋 $B$ から赤、袋 $C$ から青を取る場合は

$$ 2\cdot 3\cdot 1=6 $$

通りである。

袋 $A$ から赤、袋 $B$ から白、袋 $C$ から青を取る場合は

$$ 3\cdot 4\cdot 1=12 $$

通りである。

したがって、3個がすべて異なる色である確率は

$$ \begin{aligned} \frac{6+12}{210} &= \frac{18}{210} \\ \frac{3}{35} \end{aligned} $$

である。

次に、3個のうち2個が同じ色で、残り1個が異なる色である確率を求める。

3個の色の関係は、

（i） すべて同じ色

（ii） すべて異なる色

（iii） 2個が同じ色で、残り1個が異なる色

のいずれかであり、互いに重ならない。よって、求める確率は余事象を用いて

$$ \begin{aligned} 1-\frac{41}{210}-\frac{3}{35} &= 1-\frac{41}{210}-\frac{18}{210} \\ \frac{151}{210} \end{aligned} $$

である。

次に、$18$ 個の玉すべてを $1$ つの袋に入れる。この袋の中身は

$$ 白10個,\quad 赤7個,\quad 青1個 $$

である。

この袋から同時に $3$ 個の玉を取り出すとき、全事象の数は

$$ \begin{aligned} {}_{18}C_3 &= \frac{18\cdot 17\cdot 16}{3\cdot 2\cdot 1} \\ 816 \end{aligned} $$

通りである。

3個がすべて異なる色であるには、白・赤・青をそれぞれ $1$ 個ずつ選べばよい。その選び方は

$$ \begin{aligned} {}*{10}C_1\cdot {}*{7}C_1\cdot {}_{1}C_1 &= 10\cdot 7\cdot 1 \\ 70 \end{aligned} $$

通りである。

したがって、求める確率は

$$ \begin{aligned} \frac{70}{816} &= \frac{35}{408} \end{aligned} $$

である。

解説

最初の操作では、袋 $A,B,C$ から1個ずつ取り出すため、袋ごとの個数を掛け合わせて数える。特に、青玉は袋 $C$ にしか入っていないので、「すべて異なる色」の場合には袋 $C$ から青玉を取る必要がある。

「少なくとも1個が白玉」は直接数えるよりも、白玉が1個もない場合を引く方が速い。

また、「2個が同じ色で残り1個が異なる色」は直接数えると場合分けが多くなるため、全体から「すべて同じ色」と「すべて異なる色」を引くのがよい。

後半は、すべての玉を1つの袋に入れて同時に取り出すので、順序を考えない組合せで処理する。

答え

$$ \boxed{\text{カ}=\frac{41}{210}} $$

$$ \boxed{\text{キ}=\frac{32}{35}} $$

$$ \boxed{\text{ク}=\frac{3}{35}} $$

$$ \boxed{\text{ケ}=\frac{151}{210}} $$

$$ \boxed{\text{コ}=\frac{35}{408}} $$