数学A 確率 問題 88 解説

方針・初手

(1)はまず積分を実行し、$a,b,c$ に関する整数方程式へ変形する。特に $c$ がさいころの目で正であることを使う。

(2)は対数の底を $a$ にそろえる。$\log_b c$ を $\log_a b,\log_a c$ で表すと、条件式が因数分解できる。

解法1

全事象数は、さいころを3回投げるので

$$ 6^3=216 $$

通りである。

まず(1)を考える。

$$ \begin{aligned} \int_0^c (x-a)(x-b),dx &= \int_0^c {x^2-(a+b)x+ab},dx \end{aligned} $$

より、

$$ \begin{aligned} \int_0^c (x-a)(x-b),dx &= \frac{c^3}{3}-\frac{(a+b)c^2}{2}+abc \end{aligned} $$

である。これが $0$ であり、かつ $c>0$ だから、

$$ \frac{c^2}{3}-\frac{(a+b)c}{2}+ab=0 $$

となる。両辺を $6$ 倍して、

$$ 2c^2-3(a+b)c+6ab=0 $$

を得る。この式を変形すると、

$$ 3(2a-c)(2b-c)+c^2=0 $$

すなわち

$$ (2a-c)(2b-c)=-\frac{c^2}{3} $$

である。左辺は整数なので、$c^2$ は $3$ で割り切れる。したがって $c$ は $3$ の倍数であり、さいころの目であることから

$$ c=3,\ 6 $$

に限られる。

$c=3$ のとき、

$$ (2a-3)(2b-3)=-3 $$

である。$a,b$ は $1$ から $6$ までの整数なので、$2a-3,2b-3$ の取り得る値は

$$ -1,\ 1,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9 $$

である。この中で積が $-3$ となるのは

$$ (2a-3,2b-3)=(-1,3),(3,-1) $$

である。よって

$$ (a,b,c)=(1,3,3),(3,1,3) $$

を得る。

$c=6$ のとき、

$$ (2a-6)(2b-6)=-12 $$

である。$2a-6,2b-6$ の取り得る値は

$$ -4,\ -2,\ 0,\ 2,\ 4,\ 6 $$

である。この中で積が $-12$ となるのは

$$ (2a-6,2b-6)=(-2,6),(6,-2) $$

である。よって

$$ (a,b,c)=(2,6,6),(6,2,6) $$

を得る。

したがって、(1)の条件を満たす組は $4$ 通りであるから、求める確率は

$$ \frac{4}{216}=\frac{1}{54} $$

である。

次に(2)を考える。

$a,b\geqq 2$ であるから、$\log_a b$ は正である。ここで

$$ x=\log_a b,\qquad y=\log_a c $$

とおく。底の変換公式より、

$$ \log_b c=\frac{\log_a c}{\log_a b}=\frac{y}{x} $$

である。条件式

$$ 2\log_a b-2\log_a c+\log_b c=1 $$

は

$$ 2x-2y+\frac{y}{x}=1 $$

となる。両辺に $x$ をかけると、

$$ 2x^2-2xy+y=x $$

である。これを整理すると、

$$ 2x^2-x-2xy+y=0 $$

すなわち

$$ (2x-1)(x-y)=0 $$

となる。

よって、次の2つの場合に分かれる。

(i)

$x=y$ のとき

$$ \log_a b=\log_a c $$

である。底 $a$ は $a\geqq 2$ なので、対数関数は一対一である。したがって

$$ b=c $$

である。

このとき $a$ は $2,3,4,5,6$ の $5$ 通り、$b$ も $2,3,4,5,6$ の $5$ 通りであり、$c=b$ と決まる。よって

$$ 5\cdot 5=25 $$

通りである。

(ii)

$2x-1=0$ のとき

$$ \log_a b=\frac12 $$

である。したがって

$$ b=a^{1/2} $$

すなわち

$$ a=b^2 $$

である。

$a,b$ はさいころの目で、かつ $a,b\geqq 2$ だから、

$$ (a,b)=(4,2) $$

のみである。このとき $c$ は $1,2,3,4,5,6$ のいずれでもよいので、$6$ 通りである。

ただし、（i） と （ii） の両方に含まれる場合がある。それは

$$ (a,b)=(4,2),\qquad b=c $$

すなわち

$$ (a,b,c)=(4,2,2) $$

の $1$ 通りである。

したがって、(2)の条件を満たす組は

$$ 25+6-1=30 $$

通りである。よって求める確率は

$$ \frac{30}{216}=\frac{5}{36} $$

である。

解説

(1)では、積分後の式をそのまま代入で調べるのではなく、

$$ 3(2a-c)(2b-c)+c^2=0 $$

の形にすることが重要である。これにより、まず $c$ が $3$ の倍数に限られることが分かり、確認すべき場合が $c=3,6$ だけになる。

(2)では、対数の底をそろえる処理が中心である。$\log_b c$ を $\log_a b,\log_a c$ で表すと、条件式が

$$ (2x-1)(x-y)=0 $$

と因数分解できる。ここから $b=c$ の場合と $a=b^2$ の場合に分けて数えればよい。最後に重複を1つ引く点が数え上げの注意点である。

答え

(1)

$$ \frac{1}{54} $$

(2)

$$ \frac{5}{36} $$