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数学A 確率問題 96 解説

方針・初手

操作の最後に袋 $G$ に入る球は、袋 $E$ から1個、袋 $F$ から1個である。袋 $E$ に入る球は袋 $A,B$ から1個ずつであり、そのうち1個が等確率で選ばれるので、袋 $E$ から袋 $G$ に入る球は「袋 $A$ または袋 $B$ を等確率で選び、さらにその袋から1個選ぶ」とみなせる。

同様に、袋 $F$ から袋 $G$ に入る球は「袋 $C$ または袋 $D$ を等確率で選び、さらにその袋から1個選ぶ」とみなせる。

したがって、袋 $E$ 由来の球と袋 $F$ 由来の球の色の分布をそれぞれ求め、それらを掛け合わせればよい。

解法1

袋 $E$ から袋 $G$ に入る球の色を $X$、袋 $F$ から袋 $G$ に入る球の色を $Y$ とする。

袋 $A,B$ の中の色 $S$ の球の個数をそれぞれ $a_S,b_S$ とすると、$X$ が色 $S$ である確率は

$$ P(X=S)=\frac{1}{2}\cdot \frac{a_S}{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{b_S}{2} =\frac{a_S+b_S}{4} $$

である。同様に、袋 $C,D$ の中の色 $S$ の球の個数をそれぞれ $c_S,d_S$ とすると、

$$ P(Y=S)=\frac{c_S+d_S}{4} $$

である。

また、$X$ と $Y$ は別々の袋の操作から決まるので独立である。

(1)

袋 $A,C$ には白球と赤球が1個ずつ、袋 $B,D$ には白球が2個ずつ入っている。

まず、袋 $E$ 由来の球 $X$ が赤である確率を求める。袋 $A$ には赤球が1個、袋 $B$ には赤球が0個であるから、

$$ P(X=\text{赤})=\frac{1+0}{4}=\frac{1}{4} $$

である。

同様に、袋 $F$ 由来の球 $Y$ が赤である確率は、袋 $C$ に赤球が1個、袋 $D$ に赤球が0個であるから、

$$ P(Y=\text{赤})=\frac{1+0}{4}=\frac{1}{4} $$

である。

袋 $G$ に赤球が2個入るのは、$X,Y$ がともに赤であるときである。よって、

$$ p_1=P(X=\text{赤})P(Y=\text{赤}) =\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4} =\frac{1}{16} $$

である。

(2)

袋 $A,B,C,D$ のいずれにも白球と赤球が1個ずつ入っている。

袋 $A,B$ の合計では赤球が2個あるので、

$$ P(X=\text{赤})=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} $$

である。

同様に、袋 $C,D$ の合計でも赤球が2個あるので、

$$ P(Y=\text{赤})=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} $$

である。

したがって、袋 $G$ に赤球が2個入る確率は

$$ p_2=P(X=\text{赤})P(Y=\text{赤}) =\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2} =\frac{1}{4} $$

である。

(3)

袋 $A,C$ には青球と赤球が1個ずつ、袋 $B,D$ には黄球と緑球が1個ずつ入っている。

袋 $A,B$ を合わせると、青・赤・黄・緑の球がそれぞれ1個ずつある。したがって、袋 $E$ 由来の球 $X$ の色は、青・赤・黄・緑のそれぞれについて

$$ P(X=\text{各色})=\frac{1}{4} $$

である。

同様に、袋 $C,D$ を合わせても、青・赤・黄・緑の球がそれぞれ1個ずつある。したがって、袋 $F$ 由来の球 $Y$ の色も、青・赤・黄・緑のそれぞれについて

$$ P(Y=\text{各色})=\frac{1}{4} $$

である。

袋 $G$ に入る2個の球の色が同じである確率は、青どうし、赤どうし、黄どうし、緑どうしの場合の和である。よって、

$$ \begin{aligned} p_3 &=P(X=\text{青},Y=\text{青}) +P(X=\text{赤},Y=\text{赤}) \\ &\quad +P(X=\text{黄},Y=\text{黄}) +P(X=\text{緑},Y=\text{緑}) \\ &=4\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4} \\ &=\frac{1}{4} \end{aligned} $$

である。